Thời gian vật trượt trên mặt phẳng nghiêng?

apple13197 đã viết:

Bài toán
Một vật trượt không vận tốc đầu từ đỉnh mặt phẳng nghiêng có góc nghiêng $\alpha =\dfrac{\pi }{6}$. Hệ số ma sát giữa vật và mặt phẳng nghiêng thay đổi cùng với sự tăng khoảng cách x tính từ đỉnh mặt phẳng nghiêng theo qui luật $\mu =0,1x$. Vật trượt đến chân mặt phẳng nghiêng thì dừng lại. Thời gian vật trượt trên mặt phẳng nghiêng là:
A. 5,356s.
B. 3,478s.
C. 2,675s.
D. 3,375s.

Click để xem thêm...

Hướng dẫn:
Ta có: Áp dụng định luật II Newton:

$$\overrightarrow{P}+\overrightarrow{F_{ms}}=m\overrightarrow{a}$$

Chiếu lên hai trục Ox, Oy ta được với $F_{ms}=\mu Q$:

$$mg\sin \alpha -F_{ms} =ma-mg\cos \alpha +Q=0$$

Từ đó suy ra:

$$mx^{''}=mg\sin \alpha -bx.mg\cos $$

$$\Rightarrow x^{''}=-gb\cos \alpha \left(x-\dfrac{tg\alpha }{b}\right)$$

Đặt $x_{0}=\dfrac{tg\alpha }{b}$ ta có:

$$\left(x-x_{0}\right)^{''}=-gb\cos \alpha \left(x-x_{0}\right)$$

Ta thấy $x=x_{0}$ xác định vị trí cân bằng của vật ($a=0$). Đổi biến số $X=x-x_{0}$, tức là đổi gốc tọa độ đến vị trí cân bằng $x=x_{0}$ hay $X=0$

Ta được: $X^{''}=-gb\cos \alpha .X$ hay $X^{''}+\omega ^{2}X=0$ với $\omega ^{2}=gb\cos \alpha $ như vậy chuyển động của vật trên mặt phẳng nghiêng là một dao động điều hòa với tần số góc ω, hay với chu kỳ: $T=\dfrac{2\pi }{\sqrt{gb\cos \alpha }}$

Theo đề bài vật dừng lại trước khi đến chân mặt phẳng nghiêng. Điều đó chứng tỏ thời gian vật trượt từ đỉnh mặt phẳng nghiêng đến chân mặt phẳng nghiêng là bằng nửa chu kỳ, ta có: $t=\dfrac{T}{2}=\dfrac{\pi }{\sqrt{gb\cos \alpha }}$