Cho hai số thực dương $m,n\left( n\ne 1 \right)$ thỏa mãn $\dfrac{{{\log }_{7}}m.{{\log }_{2}}7}{{{\log }_{2}}10-1}=3+\dfrac{1}{{{\log }_{n}}5}$...

Phương pháp giải:
Sử dụng các công thức: ${{\log }_{a}}b.{{\log }_{b}}c={{\log }_{a}}c\left( 0<a,b\ne 1,c>0 \right)$ ; ${{\log }_{a}}x-{{\log }_{a}}y={{\log }_{a}}\dfrac{x}{y}\left( 0<a\ne 1,x,y>0 \right)$
Giải chi tiết:
Ta có: $\dfrac{{{\log }_{7}}m.{{\log }_{2}}7}{{{\log }_{2}}10-1}=3+\dfrac{1}{{{\log }_{n}}5}$
$\Leftrightarrow \dfrac{{{\log }_{2}}7.{{\log }_{7}}m}{{{\log }_{2}}10-{{\log }_{2}}2}=3+\dfrac{1}{{{\log }_{n}}5}$
$\Leftrightarrow \dfrac{{{\log }_{2}}m}{{{\log }_{2}}5}=3+\dfrac{1}{{{\log }_{n}}5}$
$\Leftrightarrow \dfrac{{{\log }_{2}}m}{{{\log }_{2}}5}=\dfrac{3{{\log }_{n}}5+1}{{{\log }_{n}}5}$
Đồng nhất hệ số ta có:
$\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
n=2 \\
{{\log }_{2}}m=3{{\log }_{n}}5+1 \\
\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
n=2 \\
{{\log }_{2}}m=3{{\log }_{2}}5+1 \\
\end{array} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
n=2 \\
{{\log }_{2}}m={{\log }_{2}}125+{{\log }_{2}}2 \\
\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
n=2 \\
m=125.2=125n \\
\end{array} \right.$
Vậy $m=125n$.