Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)$ nhận giá trị dương trên khoảng $\left( 0;+\infty \right)$, có đạo hàm trên khoảng đó và thỏa mãn $f\left( x \right)\ln f\left( x \right)=x\left( 2f\left( x \right)-{f}'\left( x \right) \right)$, $\forall x\in \left( 0;+\infty \right)$. Biết $f\left( 1 \right)=f\left( 4 \right)$, giá trị $f\left( 2 \right)$ thuộc khoảng nào dưới đây?
A. $\left( 54;56 \right)$.
B. $\left( 74;76 \right)$.
C. $\left( 10;12 \right)$.
D. $\left( 3;5 \right)$.
A. $\left( 54;56 \right)$.
B. $\left( 74;76 \right)$.
C. $\left( 10;12 \right)$.
D. $\left( 3;5 \right)$.
Ta có
$\begin{aligned}
& f\left( x \right)\ln f\left( x \right)=x\left( 2f\left( x \right)-{f}'\left( x \right) \right)\Rightarrow \ln f\left( x \right)=2x-x\dfrac{{f}'\left( x \right)}{f\left( x \right)} \\
& \Rightarrow \ln f\left( x \right)+x\dfrac{{f}'\left( x \right)}{f\left( x \right)}=2x\Rightarrow {{\left( x\ln f\left( x \right) \right)}^{\prime }}=2x \\
& \Rightarrow x\ln f\left( x \right)={{x}^{2}}+C \\
\end{aligned}$
Từ $f\left( 1 \right)=f\left( 4 \right)$ ta có $\left\{ \begin{aligned}
& \ln f\left( 1 \right)=1+C \\
& 4\ln f\left( 4 \right)=16+C \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow 4\left( 1+C \right)=16+C\Rightarrow C=4$.
Do đó $x\ln f\left( x \right)={{x}^{2}}+4\Rightarrow f\left( x \right)={{e}^{x+\dfrac{4}{x}}}\Rightarrow f\left( 2 \right)={{e}^{4}}\approx 54,598\in \left( 54;56 \right)$.
$\begin{aligned}
& f\left( x \right)\ln f\left( x \right)=x\left( 2f\left( x \right)-{f}'\left( x \right) \right)\Rightarrow \ln f\left( x \right)=2x-x\dfrac{{f}'\left( x \right)}{f\left( x \right)} \\
& \Rightarrow \ln f\left( x \right)+x\dfrac{{f}'\left( x \right)}{f\left( x \right)}=2x\Rightarrow {{\left( x\ln f\left( x \right) \right)}^{\prime }}=2x \\
& \Rightarrow x\ln f\left( x \right)={{x}^{2}}+C \\
\end{aligned}$
Từ $f\left( 1 \right)=f\left( 4 \right)$ ta có $\left\{ \begin{aligned}
& \ln f\left( 1 \right)=1+C \\
& 4\ln f\left( 4 \right)=16+C \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow 4\left( 1+C \right)=16+C\Rightarrow C=4$.
Do đó $x\ln f\left( x \right)={{x}^{2}}+4\Rightarrow f\left( x \right)={{e}^{x+\dfrac{4}{x}}}\Rightarrow f\left( 2 \right)={{e}^{4}}\approx 54,598\in \left( 54;56 \right)$.
Đáp án A.