Google
Câu hỏi: Cho một miếng tôn hình tròn tâm $O$, bán kính $R$. Cắt bỏ một phần miếng tôn theo một hình quạt $OAB$ và gò phần còn lại thành một hình nón đỉnh $O$ không có đáy ( $OA$ trùng với $OB$ ). Gọi $S$ và $S'$ là diện tích miếng tôn ban đầu và diện tích của miếng tôn còn lại. Tìm tỉ số $\dfrac{S'}{S}$ để thể tích của khối nón đạt giá trị lớn nhất.
A. $\dfrac{\sqrt{2}}{3}$.
B. $\dfrac{\sqrt{6}}{3}$.
C. $\dfrac{1}{3}$.
D. $\dfrac{1}{4}$.
Diện tích của miếng tôn ban đầu là $S=\pi {{R}^{2}}$.
Gọi $h,r,l$ lần lượt là đường cao, bán kính và đường sinh của hình nón được tạo thành. Khi đó ta có $l=R$ nên thể tích khối nón $V=\dfrac{1}{3}\pi {{r}^{2}}h=\dfrac{1}{3}\pi {{r}^{2}}\sqrt{{{R}^{2}}-{{r}^{2}}}$.
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có
$V=\dfrac{2}{3}\pi .\dfrac{r}{\sqrt{2}}.\dfrac{r}{\sqrt{2}}.\sqrt{{{R}^{2}}-{{r}^{2}}}=\dfrac{2}{3}\pi \sqrt{\dfrac{{{r}^{2}}}{2}.\dfrac{{{r}^{2}}}{2}.\left( {{R}^{2}}-{{r}^{2}} \right)}\le \dfrac{2}{3}\pi {{\sqrt{\left( \dfrac{\dfrac{{{r}^{2}}}{2}+\dfrac{{{r}^{2}}}{2}+{{R}^{2}}-{{r}^{2}}}{3} \right)}}^{3}}=\dfrac{2\sqrt{3}\pi {{R}^{3}}}{27}$
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $\dfrac{{{r}^{2}}}{2}={{R}^{2}}-{{r}^{2}}\Leftrightarrow {{r}^{2}}=\dfrac{2}{3}{{R}^{2}}\Leftrightarrow r=\dfrac{\sqrt{6}}{3}R.$
Khi đó $S'=\pi rl=\pi \dfrac{R\sqrt{6}}{3}R=\pi {{R}^{2}}\dfrac{\sqrt{6}}{3}=\dfrac{\sqrt{6}}{3}S.$ Suy ra $\dfrac{S'}{S}=\dfrac{\sqrt{6}}{3}.$
A. $\dfrac{\sqrt{2}}{3}$.
B. $\dfrac{\sqrt{6}}{3}$.
C. $\dfrac{1}{3}$.
D. $\dfrac{1}{4}$.
Gọi $h,r,l$ lần lượt là đường cao, bán kính và đường sinh của hình nón được tạo thành. Khi đó ta có $l=R$ nên thể tích khối nón $V=\dfrac{1}{3}\pi {{r}^{2}}h=\dfrac{1}{3}\pi {{r}^{2}}\sqrt{{{R}^{2}}-{{r}^{2}}}$.
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có
$V=\dfrac{2}{3}\pi .\dfrac{r}{\sqrt{2}}.\dfrac{r}{\sqrt{2}}.\sqrt{{{R}^{2}}-{{r}^{2}}}=\dfrac{2}{3}\pi \sqrt{\dfrac{{{r}^{2}}}{2}.\dfrac{{{r}^{2}}}{2}.\left( {{R}^{2}}-{{r}^{2}} \right)}\le \dfrac{2}{3}\pi {{\sqrt{\left( \dfrac{\dfrac{{{r}^{2}}}{2}+\dfrac{{{r}^{2}}}{2}+{{R}^{2}}-{{r}^{2}}}{3} \right)}}^{3}}=\dfrac{2\sqrt{3}\pi {{R}^{3}}}{27}$
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $\dfrac{{{r}^{2}}}{2}={{R}^{2}}-{{r}^{2}}\Leftrightarrow {{r}^{2}}=\dfrac{2}{3}{{R}^{2}}\Leftrightarrow r=\dfrac{\sqrt{6}}{3}R.$
Khi đó $S'=\pi rl=\pi \dfrac{R\sqrt{6}}{3}R=\pi {{R}^{2}}\dfrac{\sqrt{6}}{3}=\dfrac{\sqrt{6}}{3}S.$ Suy ra $\dfrac{S'}{S}=\dfrac{\sqrt{6}}{3}.$
Đáp án B.
