Có bao nhiêu cặp số nguyên $(x; y)$ thỏa mãn $\log...

Điều kiện: $x>0$.
Ta có: $\log _3\left(x^2+y^2+x\right)+\log _2\left(x^2+y^2\right) \leq \log _3 x+\log _2\left(x^2+y^2+24 x\right)$
$\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+x \right)-{{\log }_{3}}x\le {{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+24x \right)-{{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)$
$\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left( \dfrac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+x}{x} \right)\le {{\log }_{2}}\left( \dfrac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+24x}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}} \right)$ $\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left( 1+\dfrac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}{x} \right)\le {{\log }_{2}}\left( 1+\dfrac{24x}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}} \right)$
$\Leftrightarrow \log _3\left(\dfrac{x^2+y^2}{x}+1\right)-\log _2\left(1+\dfrac{24 x}{x^2+y^2}\right) \leq 0 \text {. }$
Đặt: $t=\dfrac{x^2+y^2}{x}(t>0)$, bất phương trình trở thành: $\log _3(1+t)-\log _2\left(1+\dfrac{24}{t}\right) \leq 0$ (1).
Xét hàm số $f(t)=\log _3(1+t)-\log _2\left(1+\dfrac{24}{t}\right)$ có ${f}'(t)=\dfrac{1}{(1+t)\ln 3}+\dfrac{24}{\left( {{t}^{2}}+24t \right)\ln 2}>0,\forall t>0$.
Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng $(0 ;+\infty)$.
Ta có $f(8)={{\log }_{3}}(1+8)-{{\log }_{2}}\left( 1+\dfrac{24}{8} \right)=0$
Từ đó suy ra: $(1) \Leftrightarrow f(t) \leq f(8) \Leftrightarrow t \leq 8 \Leftrightarrow \dfrac{x^2+y^2}{x} \leq 8 \Leftrightarrow(x-4)^2+y^2 \leq 16$.
Đếm các cặp giá trị nguyên của $(x ; y)$
Ta có: $(x-4)^2 \leq 16 \Leftrightarrow 0 \leq x \leq 8$, mà $x>0$ nên $0<x \leq 8$.
Với $x=1, x=7 \Rightarrow y=\{\pm 2 ; \pm 1 ; 0\}$ nên có 10 cặp.
Với $x=2, x=6 \Rightarrow y=\{\pm 3 ; \pm 2 ; \pm 1 ; 0\}$ nên có 14 cặp.
Với $x=3, x=5 \Rightarrow y=\{\pm 3 ; \pm 2 ; \pm 1 ; 0\}$ nên có 14 cặp.
Với $x=4 \Rightarrow y=\{\pm 4 ; \pm 3 ; \pm 2 ; \pm 1 ; 0\}$ nên có 9 cặp.
Với $x=8 \Rightarrow y=0$ có 1 cặp.
Vậy có 48 cặp giá trị nguyên $(x ; y)$ thỏa mãn đề bài.