Gọi $S$ là tập hợp các giá trị nguyên dương của $x$ sao cho...

Điều kiện ${{x}^{2}}-9>0\Rightarrow x\in \left( -\infty ; -3 \right)\cup \left( 3; +\infty \right)$.
Đặt $t={{x}^{2}}-9$ suy ra bất phương trình đã cho trở thành
${{\log }_{2}}\dfrac{t}{3125}<{{\log }_{5}}\dfrac{t}{32}\Rightarrow {{\log }_{2}}\dfrac{t}{3125}-{{\log }_{5}}\dfrac{t}{32}<0$.
Xét hàm $g\left( t \right)={{\log }_{2}}\dfrac{t}{3125}-{{\log }_{5}}\dfrac{t}{32}$ ta có $g\left( t \right)=0\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\dfrac{t}{3125}={{\log }_{5}}\dfrac{t}{32}=a$. Khi đó
$\left\{ \begin{aligned}
& \dfrac{t}{3125}={{2}^{a}} \\
& \dfrac{t}{32}={{5}^{a}} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow {{3125.2}^{a}}={{32.5}^{a}}\Leftrightarrow {{\left( \dfrac{2}{5} \right)}^{a}}={{\left( \dfrac{2}{5} \right)}^{5}}\Leftrightarrow a=5.$
Suy ra $t=100000$. Do đó để $g\left( t \right)<0$ thì $0<t<100000$.
Khi đó: $9<{{x}^{2}}<100009\Leftrightarrow $ $\left[ \begin{aligned}
& -\sqrt{100009}<x<-3 \\
& 3<x<\sqrt{100009} \\
\end{aligned} \right.$
Do $x$ nguyên dương nên $S=\left\{ 4; 5; 6; ....; 316 \right\}$. Tổng các phần tử của $S$ là $50080$.