Google
Câu hỏi: Gọi $z$ là số phức có phần ảo âm thỏa mãn phương trình $(\bar{z}-2)^4+2(\bar{z}-2)^2-15=0$. Biết môđun của của số phức $w=\dfrac{5 \bar{z}-3+2 i \sqrt{5}}{z-4}$ có dạng $\dfrac{a}{b} \sqrt{6}$ với $a, b \in \mathbb{N}$ và $\dfrac{a}{b}$ là phân số tối giản. Tính $S=a-2 b$
A. 4 .
B. 13 .
C. 1 .
D. 2 .
A. 4 .
B. 13 .
C. 1 .
D. 2 .
Ta có $(\bar{z}-2)^4+2(\bar{z}-2)^2-15=0 \Leftrightarrow\left[(\bar{z}-2)^2+5\right]\left[(\bar{z}-2)^2-3\right]=0$
$
\Leftrightarrow\left[\begin{array} { l }
{ ( \overline { z } - 2 ) ^ { 2 } = - 5 } \\
{ ( \overline { z } - 2 ) ^ { 2 } = 3 }
\end{array} \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}
\bar{z}=2 \pm i \sqrt{5} \\
\bar{z}=5 \\
\bar{z}=-1
\end{array}\right.\right.
$
Vì $z$ là số phức có phần ảo âm nên $z=2-i \sqrt{5}$.
Do đó $|w|=\left|\dfrac{5 \bar{z}-3+2 i \sqrt{5}}{z-4}\right|=\left|\dfrac{5(2+i \sqrt{5})-3+2 i \sqrt{5}}{2-i \sqrt{5}-4}\right|=\dfrac{|7+7 i \sqrt{5}|}{|-2-i \sqrt{5}|}=\dfrac{7}{3} \sqrt{6}$
Suy ra $a=7 ; b=3 \Rightarrow a-2 b=1$.
$
\Leftrightarrow\left[\begin{array} { l }
{ ( \overline { z } - 2 ) ^ { 2 } = - 5 } \\
{ ( \overline { z } - 2 ) ^ { 2 } = 3 }
\end{array} \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}
\bar{z}=2 \pm i \sqrt{5} \\
\bar{z}=5 \\
\bar{z}=-1
\end{array}\right.\right.
$
Vì $z$ là số phức có phần ảo âm nên $z=2-i \sqrt{5}$.
Do đó $|w|=\left|\dfrac{5 \bar{z}-3+2 i \sqrt{5}}{z-4}\right|=\left|\dfrac{5(2+i \sqrt{5})-3+2 i \sqrt{5}}{2-i \sqrt{5}-4}\right|=\dfrac{|7+7 i \sqrt{5}|}{|-2-i \sqrt{5}|}=\dfrac{7}{3} \sqrt{6}$
Suy ra $a=7 ; b=3 \Rightarrow a-2 b=1$.
Đáp án C.