Google
Câu hỏi: Kí hiệu $(H)$ là hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=x e^x$, trục hoành và đường thẳng $x=1$. Đường thẳng $x=k(0<k<1)$ chia $(H)$ thành hai phần có diện tích tương ứng $S_1, S_2$ như hình vẽ dưới. Biết $S_1=2 S_2$. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. ${{e}^{k}}=\dfrac{1}{3\left( 1-k \right)}$
B. ${{e}^{k}}=\dfrac{2}{3\left( 1+k \right)}$
C. ${{e}^{k}}=\dfrac{2}{3\left( 1-k \right)}$
D. ${{e}^{k}}=\dfrac{1}{3\left( 1+k \right)}$
B. ${{e}^{k}}=\dfrac{2}{3\left( 1+k \right)}$
C. ${{e}^{k}}=\dfrac{2}{3\left( 1-k \right)}$
D. ${{e}^{k}}=\dfrac{1}{3\left( 1+k \right)}$
Diện tích hình phẳng $(H)$ là
$
S=\int_0^1 x \mathrm{e}^x \mathrm{~d} x=\int_0^1 x \mathrm{~d}\left(\mathrm{e}^x\right)=\left.x \mathrm{e}^x\right|_0 ^1-\int_0^1 \mathrm{e}^x \mathrm{~d} x=\left.x \mathrm{e}^x\right|_0 ^1-\left.\mathrm{e}^x\right|_0 ^1=\mathrm{e}-(\mathrm{e}-1)=1
$
Mặt khác, ta có
$
S_1=\int_0^k x \mathrm{e}^x \mathrm{~d} x=\int_0^k x \mathrm{~d}\left(\mathrm{e}^x\right)=\left.x \mathrm{e}^x\right|_0 ^k-\int_0^k \mathrm{e}^x \mathrm{~d} x=\left.x \mathrm{e}^x\right|_0 ^k-\left.\mathrm{e}^x\right|_0 ^k=k \mathrm{e}^k-\left(\mathrm{e}^k-1\right)=(k-1) \mathrm{e}^k+
$
1.
Từ $S_1=2 S_2$ suy ra $S_1=\dfrac{2}{3} S=\dfrac{2}{3}$. Do đó $(k-1) \mathrm{e}^k+1=\dfrac{2}{3} \Leftrightarrow \mathrm{e}^k=\dfrac{1}{3(1-k)}$.
$
S=\int_0^1 x \mathrm{e}^x \mathrm{~d} x=\int_0^1 x \mathrm{~d}\left(\mathrm{e}^x\right)=\left.x \mathrm{e}^x\right|_0 ^1-\int_0^1 \mathrm{e}^x \mathrm{~d} x=\left.x \mathrm{e}^x\right|_0 ^1-\left.\mathrm{e}^x\right|_0 ^1=\mathrm{e}-(\mathrm{e}-1)=1
$
Mặt khác, ta có
$
S_1=\int_0^k x \mathrm{e}^x \mathrm{~d} x=\int_0^k x \mathrm{~d}\left(\mathrm{e}^x\right)=\left.x \mathrm{e}^x\right|_0 ^k-\int_0^k \mathrm{e}^x \mathrm{~d} x=\left.x \mathrm{e}^x\right|_0 ^k-\left.\mathrm{e}^x\right|_0 ^k=k \mathrm{e}^k-\left(\mathrm{e}^k-1\right)=(k-1) \mathrm{e}^k+
$
1.
Từ $S_1=2 S_2$ suy ra $S_1=\dfrac{2}{3} S=\dfrac{2}{3}$. Do đó $(k-1) \mathrm{e}^k+1=\dfrac{2}{3} \Leftrightarrow \mathrm{e}^k=\dfrac{1}{3(1-k)}$.
Đáp án A.