Google
Câu hỏi: Thể tích của khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi hai đường $y={{x}^{2}}-3x+5$, $y=x+2$ quay quanh trục $Ox$ là
A. $\dfrac{16\pi }{15}$.
B. $\dfrac{16}{15}$.
C. $\dfrac{48}{5}$.
D. $\dfrac{48\pi }{5}$.
A. $\dfrac{16\pi }{15}$.
B. $\dfrac{16}{15}$.
C. $\dfrac{48}{5}$.
D. $\dfrac{48\pi }{5}$.
Hoành độ giao điểm của hai đường đã cho là nghiệm của phương trình ${{x}^{2}}-3x+5=x+2\Leftrightarrow {{x}^{2}}-4x+3=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=1 \\
& x=3 \\
\end{aligned} \right.$.
Nhìn vào đồ thị ta có thể tích tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi hai đường $y={{x}^{2}}-3x+5$, $y=x+2$ quay quanh trục $Ox$ là:
$V=\pi \int\limits_{1}^{3}{\left| {{\left( {{x}^{2}}-3x+5 \right)}^{2}}-{{\left( x+2 \right)}^{2}} \right|}\text{d}x$ $=\pi \int\limits_{1}^{3}{\left[ {{\left( x+2 \right)}^{2}}-{{\left( {{x}^{2}}-3x+5 \right)}^{2}} \right]}\text{d}x$
$=\pi \int\limits_{1}^{3}{\left[ \left( {{x}^{2}}+4x+4 \right)-\left( {{x}^{4}}+9{{x}^{2}}+25-6{{x}^{3}}+10{{x}^{2}}-30x \right) \right]}\text{d}x$ $=\pi \int\limits_{1}^{3}{\left( -{{x}^{4}}+6{{x}^{3}}-18{{x}^{2}}+34x-21 \right)}\text{d}x$ $=\pi \left. \left( \dfrac{-{{x}^{5}}}{5}+\dfrac{3{{x}^{4}}}{2}-6{{x}^{3}}+17{{x}^{2}}-21x \right) \right|_{1}^{3}=\dfrac{48\pi }{5}$.
& x=1 \\
& x=3 \\
\end{aligned} \right.$.
$V=\pi \int\limits_{1}^{3}{\left| {{\left( {{x}^{2}}-3x+5 \right)}^{2}}-{{\left( x+2 \right)}^{2}} \right|}\text{d}x$ $=\pi \int\limits_{1}^{3}{\left[ {{\left( x+2 \right)}^{2}}-{{\left( {{x}^{2}}-3x+5 \right)}^{2}} \right]}\text{d}x$
$=\pi \int\limits_{1}^{3}{\left[ \left( {{x}^{2}}+4x+4 \right)-\left( {{x}^{4}}+9{{x}^{2}}+25-6{{x}^{3}}+10{{x}^{2}}-30x \right) \right]}\text{d}x$ $=\pi \int\limits_{1}^{3}{\left( -{{x}^{4}}+6{{x}^{3}}-18{{x}^{2}}+34x-21 \right)}\text{d}x$ $=\pi \left. \left( \dfrac{-{{x}^{5}}}{5}+\dfrac{3{{x}^{4}}}{2}-6{{x}^{3}}+17{{x}^{2}}-21x \right) \right|_{1}^{3}=\dfrac{48\pi }{5}$.
Đáp án D.