Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A\left( 4;0;0 \right), B\left( 1;2;3 \right)$. Gọi $M$ là điểm di động thỏa mãn $\overrightarrow{OM}.\overrightarrow{OA}=\dfrac{\sqrt{3}OM.OA}{2}$ và $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MO}=0$. Gọi $p; q$ lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của $BM$. Giá trị ${{p}^{2}}+{{q}^{2}}$ bằng
A. $40$
B. $30$
C. $34-2\sqrt{39}$.
D. $34+2\sqrt{39}$.
Ta có: $\overrightarrow{OM}.\overrightarrow{OA}=\dfrac{\sqrt{3}OM.OA}{2}\Leftrightarrow \cos \left( \overrightarrow{OM},\overrightarrow{OA} \right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow \left( \overrightarrow{OM},\overrightarrow{OA} \right)=30{}^\circ $.
Mặt khác, $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MO}=0$ nên điểm $M$ thuộc đường tròn tâm $I$ bán kính $r$ là đáy chung của hai hình nón đỉnh $A$ và hình nón đỉnh $O$.
Ta tính được: $IA=1; IO=3; r=\sqrt{3}$ ; $\overrightarrow{OI}=3\overrightarrow{IA}\Leftrightarrow I\left( 3;0;0 \right)$.
Mặt phẳng $\left( P \right)$ chứa đường tròn đáy qua $I\left( 3;0;0 \right)$, VTPT $\overrightarrow{OA}=\left( 4;0;0 \right)$ có phương trình: $x-3=0$.
Nhận xét: $O, B$ cùng phía với $\left( P \right); d\left( B,\left( P \right) \right)=2; d\left( B,OA \right)=\sqrt{13}$.
Gọi $H, J$ là hình chiếu của $B$ lên $\left( P \right)$ và $OA\Rightarrow BJ=\sqrt{13}=IH, BH=2=IJ$.
Ta có $BM=\sqrt{B{{H}^{2}}+M{{H}^{2}}}\le \sqrt{B{{H}^{2}}+{{\left( IH+r \right)}^{2}}}=\sqrt{4+{{\left( \sqrt{3}+\sqrt{13} \right)}^{2}}}=\sqrt{20+2\sqrt{39}}=p$.
$BM=\sqrt{B{{H}^{2}}+M{{H}^{2}}}\ge \sqrt{B{{H}^{2}}+{{\left( IH-r \right)}^{2}}}=\sqrt{4+{{\left( \sqrt{3}-\sqrt{13} \right)}^{2}}}=\sqrt{20-2\sqrt{39}}=q$.
Vậy ${{p}^{2}}+{{q}^{2}}=40$.
A. $40$
B. $30$
C. $34-2\sqrt{39}$.
D. $34+2\sqrt{39}$.
Mặt khác, $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MO}=0$ nên điểm $M$ thuộc đường tròn tâm $I$ bán kính $r$ là đáy chung của hai hình nón đỉnh $A$ và hình nón đỉnh $O$.
Ta tính được: $IA=1; IO=3; r=\sqrt{3}$ ; $\overrightarrow{OI}=3\overrightarrow{IA}\Leftrightarrow I\left( 3;0;0 \right)$.
Mặt phẳng $\left( P \right)$ chứa đường tròn đáy qua $I\left( 3;0;0 \right)$, VTPT $\overrightarrow{OA}=\left( 4;0;0 \right)$ có phương trình: $x-3=0$.
Nhận xét: $O, B$ cùng phía với $\left( P \right); d\left( B,\left( P \right) \right)=2; d\left( B,OA \right)=\sqrt{13}$.
Gọi $H, J$ là hình chiếu của $B$ lên $\left( P \right)$ và $OA\Rightarrow BJ=\sqrt{13}=IH, BH=2=IJ$.
Ta có $BM=\sqrt{B{{H}^{2}}+M{{H}^{2}}}\le \sqrt{B{{H}^{2}}+{{\left( IH+r \right)}^{2}}}=\sqrt{4+{{\left( \sqrt{3}+\sqrt{13} \right)}^{2}}}=\sqrt{20+2\sqrt{39}}=p$.
$BM=\sqrt{B{{H}^{2}}+M{{H}^{2}}}\ge \sqrt{B{{H}^{2}}+{{\left( IH-r \right)}^{2}}}=\sqrt{4+{{\left( \sqrt{3}-\sqrt{13} \right)}^{2}}}=\sqrt{20-2\sqrt{39}}=q$.
Vậy ${{p}^{2}}+{{q}^{2}}=40$.
Đáp án A.