Chứng minh vật dao động điều hòa. Viết ptdđ của vật

Lời giải
Câu a. Khi vật có li độ x thì lò xo giãn thêm một đoạn $x'=\dfrac{x}{2}$
Ta có hệ pt
$\begin{cases} \vec F'=\vec P+\vec T \\
2\vec T+\vec F_đ=\vec 0\end{cases}$
Chiếu lên Ox $\begin {cases} F'=mg-T \\
2T-k\left(\Delta l_0+\dfrac{x}{2}\right)=0\end{cases}$
$ \Rightarrow F'=-\dfrac{k}{4}x \Rightarrow mx''=-\dfrac{k}{4m}x=-\omega ^2x$
Với $\omega =\sqrt{\dfrac{k}{4m}}$
Vậy vật dao động điều hòa chu kì $T=2\pi \sqrt{\dfrac{4m}{k}}=2s$
Câu b.$A^2=x^2+\dfrac{v^2}{\omega ^2}$
$ \Rightarrow A=3\sqrt 2$cm. Khi đó
$F'=-\dfrac{k}{4}A=0,3\sqrt 2$N
$ \Rightarrow T_{max}=mg-F'=1,424N$
$F_{đh}=2T=2,828N$
Câu c... ai làm tiếp giùm nha

Lời giải
Câu c: $W=\dfrac{1}{2}kA^{2}$=0,036; $W_{d}=3W_{t}\Rightarrow x=\dfrac{A}{2}$=1,5$\sqrt{2}$

Theo em thì đây không phải mô hình ròng rọc động đâu ạ.

minh\tan gv đã viết:

$2\vec T+\vec F_đ=\vec 0$

Click để xem thêm...

Em nghĩ ròng rọc chuyển động có gia tốc; sao hợp lực tác dụng vào nó bằng 0 được ạ
lời giải của em; mong mn cho nhận xét ạ:
lục tác dụng vào vật có lực căng dây và trọng lực; ròng rọc có lực căng dây và lực đàn hồi.
Theo định luật 2 Newton:
$-kx+2T=-T+P=ma
\Leftrightarrow \begin{cases}T=\dfrac{P+kx}{3}\\\dfrac{2P}{3m}-\dfrac{k}{3m}x=x"\end{cases}$
Đặt $X=x-\dfrac{2P}{k}$ suy ra $\dfrac{k}{3m}.X+X"=0$
Vật dao động diều hòa.
Tốc độ góc $\omega =\sqrt{\dfrac{k}{3m}}=\dfrac{20}{\sqrt{3}}$
Biên độ $A=\sqrt{3^{2}+\dfrac{30^{2}}{\omega ^{2}}}=4cm$
ptdđ:$X=4\cos \left(\dfrac{20t}{\sqrt{3}}+arc\cos {0,75}\right)cm$
tại VTCB lò xo giãn $\Delta l_0=\dfrac{2P}{k}=5cm$
khi vật xuống vị trí thấp nhất:

• lực đàn hồi :$k\Delta l=k\left(\Delta l_0+A\right)=3,6W$
• lực căng dây:$T=\dfrac{P+F_{dh}}{3}=1,53N$

câu c; ra $E=0,0105J;X=\pm 2cm$

osp đã viết:

Bài toán
Cho hệ dao đông như hình vẽ . Vật có khối lượng $m=100g$; lò xo có độ cứng $k=40 \ \text{N}/\text{m}$. Kéo vật xuống phía dưới theo phương thẳng đứng $3cm$; rồi truyền cho vật vận tốc $30 \ \left(\text{cm}/\text{s}\right)$ hướng lên.
1) chứng minh vật dao động điều hòa. Viết phương trình dao động của vật(chọn gốc tọa độ ở vị trí cân bằng; chiều dương như hình vẽ; gốc thời gian khi vật bắt đầu chuyển động). Bỏ qua khối lượng ròng rọc; lò xo; dây; và bỏ qua mọi ma sát. Lấy $g=10 \ \left(\text{m}/\text{s}^{2}\right)$
2)tìm lực căng dây; lực đàn hồi của lò xo khi vật xuống thấp nhất.
3)tìm cơ năng của hệ và li độ của vật khi động năng bằng 3 thế năng(gốc tính thế năng tại vị trí cân băng của vật).

Click để xem thêm...

$\textbf{a:}$ Tại vị trí cân bằng, xét cân bằng của ròng rọc và của vật nặng, ta có $$\dfrac{k\Delta l_0}{2}=mg$$
Xét hệ tại thời điểm mà vật m đang nằm bên dưới điểm O một đoạn bằng x. Chọn gốc thế năng tại vị trí cân bằng.
Động năng của hệ: $$E_{\text{đ}}=\dfrac{1}{2}mv^2$$
Thế năng của hệ: $$E_t=\dfrac{1}{2}k\left(\Delta l_0+\dfrac{x}{2}\right)^2-mgx$$
Cơ năng của hệ: $$E=\dfrac{1}{2}mv^2+\dfrac{1}{2}k\left(\Delta l_0+\dfrac{x}{2}\right)^2-mgx$$
Vì bỏ qua ma sát và lực cản nên cơ năng của hệ được bảo toàn, khi đó $$\dfrac{dE}{dt}=0$$
$$\Leftrightarrow mv^{'}v+\dfrac{kx^{'}}{2}\left(\Delta l_0+\dfrac{x}{2}\right)-mgx^{'}=0$$
Ta lại có: $v=x^{'}$, $v^{'}=x^{''}$ và tại thời điểm khảo sát vật có vận tốc khác không nên ta suy ra $$mx^{''}+\dfrac{kx}{4}+\dfrac{k\Delta l_0}{2}-mg=0$$ $$\Leftrightarrow mx^{''}+\dfrac{kx}{4}=0$$ $$\Leftrightarrow x^{''}+\dfrac{kx}{4m}=0$$
Đặt $$\omega ^2=\dfrac{k}{4m}$$
ta có $$x^{''}+\omega ^2x=0$$
Phương trình vi phân này chứng tỏ vật m dao động điều hòa và có chu kỳ $$T=2\pi \sqrt{\dfrac{4m}{k}}=...$$
Phương trình dao động của vật có dạng $$x=A\cos \left(\omega t+\varphi \right)$$
Trong đó $$\omega =\sqrt{\dfrac{k}{4m}}=\sqrt{\dfrac{40}{4.0,1}}=10\quad \left(\dfrac{rad}{s}\right)$$
Tại vị trí ban đầu, ta có $$A=\sqrt{x^2+\dfrac{v^2}{\omega ^2}}=\sqrt{3^2+\dfrac{30^2}{10^2}}=3\sqrt{2} \quad \left(cm\right)$$
Tại vị trí ban đầu $t=0$, ta có $$x=3\sqrt{2}\cos \varphi=3\qquad \Rightarrow \qquad \cos \varphi=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$$
và $v<0$, ta suy ra $\varphi=\dfrac{\pi }{4}$.
Vậy phương trình dao động của vật là $$x=3\sqrt{2}\cos \left(10t+\dfrac{\pi }{4}
\right)\quad \left(cm\right)$$
$\textbf{b:}$ Khi vật ở vị trí thấp nhất thì lò xo giãn một đoạn là $$\Delta l=\Delta l_0+\dfrac{A}{2}=\dfrac{2mg}{k}+\dfrac{A}{2}=...=0,07m$$
Lực đàn hồi của lò xo: $$F_{\text{đh}}=k\Delta l=40.0,07=2,85N$$
Lực căng dây trên mỗi nhánh dây: $$T=\dfrac{F_{\text{đh}}}{2}=1,425N$$
$\textbf{c:}$ Câu này có vẻ quen thuộc nhỉ! Chỉ lưu ý là công thức tính thế năng trong trường hợp này được xác định bằng biểu thức $$E_t=\dfrac{1}{2}m\omega ^2x^2$$

.....................................
Tôi hay sử dụng phương pháp Năng lượng để khảo sát dao động của hệ. Phương pháp Động lực học thầy Tân dùng là đúng rồi đó em. Ròng rọc khối lượng không đáng kể, có thể xem bằng không nên có hệ phương trình động lực học như vậy.

minhtangv đã viết:

Lời giải
Câu a. Khi vật có li độ x thì lò xo giãn thêm một đoạn $x'=\dfrac{x}{2}$
Ta có hệ pt
$\begin{cases} \vec F'=\vec P+\vec T \\
2\vec T+\vec F_đ=\vec 0\end{cases}$
Chiếu lên Ox $\begin {cases} F'=mg-T \\
2T-k\left(\Delta l_0+\dfrac{x}{2}\right)=0\end{cases}$
$ \Rightarrow F'=-\dfrac{k}{4}x \Rightarrow mx''=-\dfrac{k}{4m}x=-\omega ^2x$
Với $\omega =\sqrt{\dfrac{k}{4m}}$
Vậy vật dao động điều hòa chu kì $T=2\pi \sqrt{\dfrac{4m}{k}}=2s$
Câu b.$A^2=x^2+\dfrac{v^2}{\omega ^2}$
$ \Rightarrow A=3\sqrt 2$cm. Khi đó
$F'=-\dfrac{k}{4}A=0,3\sqrt 2$N
$ \Rightarrow T_{max}=mg-F'=1,424N$
$F_{đh}=2T=2,828N$
Câu c... ai làm tiếp giùm nha

Click để xem thêm...

Tại sao khi vật có li độ x thì lò xo giãn thêm 1 đoạn $x'=\dfrac{x}{2}$ vậy ạ?

osp đã viết:

Tại sao khi vật có li độ x thì lò xo giãn thêm 1 đoạn $x'=\dfrac{x}{2}$ vậy ạ?

Click để xem thêm...

Em tưởng tượng cái ròng rọc nó đi xuống 1 đoạn $\dfrac{x}{2}$ thì lò xo giãn tất nhiên là $\dfrac{x}{2}$ nhưng sợi dây có 2 bên nên phần chiều dài vắt qua ròng rọc là $\dfrac{x}{2}+\dfrac{x}{2}=x$ tức là vật đi xuống 1 đoạn $x$.

Cách giải thích của thầy Tân rất dể hiểu. Tuy nhiên, nếu muốn hiểu sâu sắc thêm em có thể xem các nội dung về "Chuyển động song phẳng".

minhtangv đã viết:

Em tưởng tượng cái ròng rọc nó đi xuống 1 đoạn $\dfrac{x}{2}$ thì lò xo giãn tất nhiên là $\dfrac{x}{2}$ nhưng sợi dây có 2 bên nên phần chiều dài vắt qua ròng rọc là $\dfrac{x}{2}+\dfrac{x}{2}=x$ tức là vật đi xuống 1 đoạn $x$.

Click để xem thêm...

Hồi tối cũng lường tới khả năng có bạn hỏi chỗ này và cũng suy nghĩ cách giải thích mà chưa có hài lòng. Cảm ơn thầy cho tôi một cách giải thích đơn giản này. :)

Em k hiếuchỗ thiết lập biểu thức thế năng cho lắm ạ! Tại sao lai là -mgx mà k phải +mgx ạ! Còn nữa nếu k phải vât dao động điều hòa cũng có thể dùngV=X' ạ (em mới vào nghề mong a thôg cảm)

Phạm Hồng Hùng đã viết:

Em k hiếuchỗ thiết lập biểu thức thế năng cho lắm ạ! Tại sao lai là -mgx mà k phải +mgx ạ! Còn nữa nếu k phải vât dao động điều hòa cũng có thể dùngV=X' ạ (em mới vào nghề mong a thôg cảm)

Click để xem thêm...

Trả lời ý thứ nhất:
Vì chiều dương hướng xuống dưới nên:

• Khi vật ở dưới VTCB thì $x>0$ mà do chọn gốc thế năng tại vị trí cân bằng nên thế năng trọng trường lúc là âm. Để thỏa điều đó thì biểu thức hợp lý là $-mgx$.
• Khi vật ở phía trên VTCB thì cũng bằng lập luận tương tự.

Trả lời ý thứ hai:
$v=x'$ là định nghĩa về vận tốc rồi nên dù vật có dđđh hay không nó cũng như vậy. Cái quyết định vật có dđđh hay không là phương trình vi phân $x''+\omega^2x=0$.