Chứng minh vật dao động điều hòa. Tìm tần số dao động của vật

Các cao nhân đâu rồi bơi vào đây nào!

Tối nay có cái để làm!:)

osp đã viết:

Bài toán
1 lò xo nhẹ có độ dài tự nhiên $45cm$ được cắt thành 2 đoạn $l_1=18cm;l_2=27cm$ có độ cứng tương ứng $k_1;k_2$. Sau đó 2 lò xo được nối vào vật có khối lượng $m=200g$ và có kích thước không đáng kể; tạo thành hệ cơ như hình vẽ . Biết mặt phẳng nghiêng AB cố định và nghiêng góc $\alpha=30^{o}$ so với phương nằm ngang.$g=\pi ^{2}=10$
1. Bỏ qua ma sát.

• kéo vật m dọc theo phương AB 1 đoạn nhỏ rồi thả nhẹ; chứng minh vật dao động điều hòa.
• biết khi vật có li độ $2cm$ thì động năng của vật bằng $75^{o}/_o$ cơ năng của hệ và tốc độ trung bình của vật trong 1 chu kì băng $40 \ \left(\text{cm}/\text{s}\right)$. Tìm tần số dao động của vật.
• cho biết khoảng cách $AB=50cm$; tìm độ biến dạng của mỗi lò xo khi vật ở VTCB.

Click để xem thêm...

Để đơn giản hóa việc chứng minh (nhưng hoàn toàn không làm mất đi tính tổng quát cũng như bản chất vật lý của bài toán) tôi giả sử rằng: "khoảng cách hai điểm gắn lò xo vào giá cố định cách nhau một khoảng sao cho nếu đặt hệ với kích thước và liên kết đó lên mặt phẳng ngang thì lò xo không biến dạng". Và để thuận tiện cho thói quen của mình, tôi chọn chiều dương hướng xuống như hình vẽ.

Tại vị trí cân bằng $$\vec{F}_1+\vec{F}_2+\vec{P}=\vec{0}$$
Chiếu lên chiều dương, ta có $$-F_1-F_2+P\sin \alpha =0$$ $$\Leftrightarrow k_1\Delta l+k_2\Delta l=mg\sin \alpha \quad \Leftrightarrow \quad \left(k_1+k_2\right)\Delta l=mg\sin \alpha $$
Xét vật tại vị trí nằm dưới VTCB một đoạn bằng x, chọn gốc thế năng tại VTCB, gốc tọa độ tại VTCB, chiều dương hướng xuống.

Động năng của hệ: $$E_{\text{đ}}=\dfrac{1}{2}mv^2$$
Thế năng của hệ: $$E_t=\dfrac{1}{2}k_1\left(\Delta l+x\right)^2+\dfrac{1}{2}k_2\left(\Delta l+x\right)^2-mgx\sin \alpha $$
Cơ năng của hệ: $$E=\dfrac{1}{2}mv^2+\dfrac{1}{2}\left(k_1+k_2\right)\left(\Delta l+x\right)^2-mgx\sin \alpha $$
Bỏ qua ma sát thì cơ năng của hệ được bảo toàn nên $$\dfrac{dE}{dt}=0 \quad \Leftrightarrow \quad mv'v+\left(k_1+k_2\right)x'\left(\Delta l+x\right)-mg\sin \alpha x'=0$$
Vì $v=x'$, $v'=x''$ và tại thời điểm khảo sát vận tốc của vật khác không ($v=x'\neq 0$) nên ta suy ra $$mx''+\left(k_1+k_2\right)x+\left(k_1+k_2\right)\Delta l-mg\sin \alpha=0\quad \Leftrightarrow \quad x''+\dfrac{k_1+k_2}{m}.x=0$$
Đặt $\omega ^2=\dfrac{\left(k_1+k_2\right)}{m}$, ta có $x''+\omega ^2x=0$. Phương trình vi phân này chứng tỏ vật dao động điều hòa với tần số góc $\omega =\sqrt{\dfrac{\left(k_1+k_2\right)}{m}}$.

b) Gọi x là vị trí mà vật có $E_{\text{đ}}=\dfrac{3}{4}E$, ta có $$E_t=\dfrac{1}{4}E \quad \Leftrightarrow \quad \dfrac{1}{2}m\omega ^2x^2= \dfrac{1}{4}.\dfrac{1}{2}m\omega ^2A^2 \quad \Leftrightarrow \quad x=\pm \dfrac{A}{2}$$
Theo đề,$x=2cm$ suy ra $A=4cm$.

Tốc độ trung bình trong một chu kỳ $$v_{tb}=\dfrac{4A}{T} \quad \Rightarrow \quad T=\dfrac{4A}{v_{tb}}=\dfrac{4.4}{40}=0,4\quad \left(s\right)$$
Tần số dao động $$f=\dfrac{1}{T}=2,5\quad \left(Hz\right)$$
c) Với độ dài đoạn $AB=50cm$ thì khi đặt hệ trên mặt phẳng nằm ngang lò xo 1 và lò xo 2 đều giãn ra một đoạn lần lượt là $\Delta l_{01}$ và $\Delta l_{02}$. Ta có $$\Delta l_{01}+\Delta l_{02}=5\quad \left(cm\right)$$
Mặc khác theo định luật Húc thì $$\dfrac{\Delta l_{01}}{l_1}=\dfrac{\Delta l_{02}}{l_2} \quad \Leftrightarrow \quad 3\Delta l_{01}=2\Delta l_{02}$$
Suy ra $\Delta l_{01}=2cm$ và $\Delta l_{02}=3cm$.

Bây giờ, ta đặt hệ trên mặt phẳng nghiêng thì ở VTCB lò xo 1 bị nén lại, lò xo 2 bị dãn ra những đoạn bằng nhau và bằng $$\Delta l=\dfrac{mg\sin \alpha }{k_1+k_2}$$
Ta có $$T=2\pi \sqrt{\dfrac{m}{k_1+k_2}}\quad \Rightarrow k_1+k_2=\dfrac{m.4\pi ^2}{T^2}=50\quad \left(\dfrac{N}{m}\right)$$
Suy ra $$\Delta l=\dfrac{0,2.10.\sin 30^0}{50}=2\quad \left(cm\right)$$
Như vậy, tại VTCB độ biến dạng của lò xo 1 là $$\Delta l_1=|\Delta l_{01}-\Delta l|=0$$ và độ biến dạng của lò xo 2 là $$\Delta l_2=\Delta l_{02}+\Delta l=3+2=5\quad \left(cm\right)$$

........................................
Ps: Một bài viết dài nên sau khi viết có dành một thời gian không nhỏ sửa lại Latex sao cho hiệu ứng hiển thị là hiệu quả nhất theo suy nghĩ của tôi. Hy vọng các Admin không sửa lại những cái mà không vi phạm quy định của diễn đàn.

osp đã viết:

2. Thực tế vật m dao động trên mặt phẳng nghiêng với hệ số ma sát $\mu=\dfrac{1}{10\sqrt{3}}$. Kéo vật lệch khỏi vị trí cân bằng dọc theo AB 1 đoạn $A_0=4,5cm$ thả nhẹ. Tính quãng đường vật đi được từ lúc bắt đầu thả đến khi dừng lại. [/baitoan]

Click để xem thêm...

Khi kéo vật lệch khỏi vị trí cân bằng dọc theo AB một đoạn $A_0$ rồi thả nhẹ thì tại vị trí đó, vật mang trong mình một năng lượng dao động $E=\dfrac{1}{2}m\omega ^2A_0^2$. Sau đó, vật dao động nhưng mất dần năng lượng do ma sát của vật nặng với mặt phẳng nghiêng, năng lượng hao hụt đó bằng với công mà lực ma sát tạo ra khi dịch chuyển trên quảng đường đó.

Khi vật dừng lại thì năng lượng dao động của vật bằng không và toàn bộ năng lượng đó chuyển hóa thành công của lực ma sát nên $$A\left(F_{ms}\right)=E \quad \Leftrightarrow \quad F_{ms}.S=\dfrac{1}{2}m\omega ^2A_0^2 \quad \Leftrightarrow \quad \mu mg\cos \alpha .S=\dfrac{1}{2}m\omega ^2A_0^2$$ $$\Rightarrow \quad S=\dfrac{\omega ^2 A_0^2}{2\mu g\cos \alpha }=50,625cm$$
Vậy quãng đường vật đi được kể từ lúc bắt đầu dao động đến khi dừng lại là $50,625cm$.