Tìm số điểm dao động với biên độ cực đại trên đường tròn

lkshooting

Member
Bài toán
Hai nguồn sóng kết hợp giống hệt nhau được đặt cách nhau một khoảng cách x trên đường kính của một vòng tròn bán kính R (x < R) và đối xứng qua tâm của vòng tròn. Biết rằng mỗi nguồn đều phát sóng có bước sóng λ và x = 6λ. Số điểm dao động cực đại trên vòng tròn là?
 
Giả sử phương trình song của hai nguồn $u_1$ và $u_2$ là $\left\{ \begin{aligned}
& {{u}_{1}}=A\cos \left(2\pi f+{{\varphi }_{1}}-\dfrac{2\pi {{d}_{1}}}{\lambda } \right) \\
& {{u}_{2}}=A\cos \left(2\pi f+{{\varphi }_{2}}-\dfrac{2\pi {{d}_{2}}}{\lambda } \right) \\
\end{aligned} \right.$
Phương trình sóng tổng hợp của hai nguồn là $u=u_1+u_2=2A|\cos \left(\dfrac{\pi}{\lambda}\left(d_2-d_1\right)+\dfrac{\left(\varphi_1-\varphi_2\right)}{2}\right)|.\cos \left(2\pi ft +\dfrac{\varphi _1+\varphi _2}{2}-\dfrac{\pi}{\lambda}\left(d_2+d_1\right)\right)$
Biện độ sóng tổng hợp $a=2A|\cos \left(\dfrac{\pi}{\lambda}\left(d_2-d_1\right)+\dfrac{\left(\varphi_1-\varphi_2\right)}{2}\right)|$
Biên độ cực đại $\Leftrightarrow |\cos \left(\dfrac{\pi}{\lambda}\left(d_2-d_1\right)+\dfrac{\left(\varphi_1-\varphi_2\right)}{2}\right)|=1\Leftrightarrow \dfrac{\pi}{\lambda}\left(d_2-d_1\right)+\dfrac{\left(\varphi_1-\varphi_2\right)}{2} =k \pi $ $\Rightarrow d_2-d_1 =k \lambda + \dfrac{\lambda }{2\pi}\left(\varphi_2-\varphi_1\right)$
Xét trong một đoạn bất kỳ có độ dài $x$ ( $x\leq u_1 u_2$ ) trong đường nối hai nguồn thì :
$\boxed{-x \leq d_2-d_1 =k \lambda + \dfrac{\lambda }{2\pi}\left(\varphi_2-\varphi_1 \right) \leq x }\Rightarrow k=....$ ( $k$ nguyên)
Áp dụng cho bài toán này :ta có $-6 \lambda \leq d_2-d_1 =k \lambda \leq 6 \lambda \Rightarrow -6 \leq k \leq 6 \Rightarrow k=-6,-5,-4,..., 4,5,6$ có $13$ đường hepybol cắt đường thẳng nối hai nguồn, suy ra có $26$ điểm dao động cực đại trên vòng tròn.
Ở đây do $u_1u_2 >R$ nên mỗi đườnghepybol luôn cắt đường tròn tại hai điểm.
 
Đáp án đúng là $22$.
Chú ý là ta không tính cực đại đi qua nguồn, vì nguồn là nơi phát sóng ra, không chịu ảnh hưởng của giao thoa.
Như vậy ta có $-6<k<6$ suy ra có $11$ giá trị của $k$ thỏa mãn. Ứng mỗi giá trị $k$ sẽ có một đường cắt đường tròn tại hai điểm.
Vậy có $22$ điểm dao động với biên độ cực đại trên đường tròn.
 

Quảng cáo

Back
Top