Tìm số lần hai chất điểm gặp nhau trong $20s$

hokiuthui200 đã viết:

Bài toán: Hai chất điểm dao động điều hòa với cùng chu kì $T=1s$, biên độ lần lượt là $A$ và $2A$, trên hai trục tọa độ song song cùng chiều, cùng gốc tọa độ. Trong khoảng thời gian $20s$ thì số lần chúng gặp nhau là:
A.$20$
B.$40$
C.$10$
D.$41$

Click để xem thêm...

• Hai chất điểm này dao động với cùng chu kì, suy ra tốc độ góc bằng nhau, tức là biểu diễn trên đường tròn thì $\overrightarrow{A}$ và $\overrightarrow{2A}$ quay được những góc bằng nhau trong những khoảng thời gian bằng nhau.
• Hai chất điểm này gặp nhau khi li độ của chúng bằng nhau, tức là \[\begin{align}
  & A\cos\left( \omega t+{{\varphi }_{1}} \right)=2A\cos\left( \omega t+{{\varphi }_{2}} \right) \\
  & \Rightarrow\cos\left( \omega t+{{\varphi }_{1}} \right)=2\cos\left( \omega t+{{\varphi }_{2}} \right) \\
  & \Rightarrow\cos\left( \omega t \right).\cos\left( {{\varphi }_{1}} \right)-\sin \left( \omega t \right).\sin \left( {{\varphi }_{1}} \right)=2\cos\left( \omega t \right).\cos\left( {{\varphi }_{2}} \right)-2\sin \left( \omega t \right).\sin \left( {{\varphi }_{2}} \right) \\
  & \Rightarrow\cos\left( \omega t \right)\left[\cos\left( {{\varphi }_{1}} \right)-2\cos\left( {{\varphi }_{2}} \right) \right]-\sin \left( \omega t \right)\left[ \sin \left( {{\varphi }_{1}} \right)+2\sin \left( {{\varphi }_{2}} \right) \right]=0 \\
  \end{align}\]
• Rõ ràng để giải được phương trình này thì phải biết được các pha ban đầu, nên đề bài không chặt.
• Với những đáp án như trên, mình nghĩ tác giả bài toán này cho các pha ban đầu bằng $0$. Khi đó \[\begin{align}
  &\cos\left( \omega t \right)\left[\cos\left( 0 \right)-2\cos\left( 0 \right) \right]-\sin \left( \omega t \right)\left[ \sin \left( 0 \right)+2\sin \left( 0 \right) \right]=0 \\
  & \Rightarrow\cos\left( \omega t \right)=0 \\
  & \Rightarrow \dfrac{2\pi }{T}t=\dfrac{\pi }{2}+k\pi \\
  & \Rightarrow 0<\dfrac{1}{4}+\dfrac{k}{2}\le 20 \\
  & \Rightarrow -\dfrac{1}{2}<k\le 39.5 \\
  \end{align}\]
• Suy ra $k=0;1;....;39$ tức là chúng sẽ gặp nhau $40$ lần.
• Chọn B.
• Ngoài ra, với điều kiện pha ban đầu bằng 0, chúng ta còn có thể lí luận như sau:
• Pha ban đầu trùng nhau, nên $\overrightarrow{A}$ và $\overrightarrow{2A}$ nằm đè lên nhau và cùng quay. Khi chúng quay đến các góc $\dfrac{\pi}{2}$ và $\dfrac{3 \pi}{2}$ thì hình chiếu của chúng trùng nhau (tại vị trí $x=0$), tức là chất điểm sẽ gặp nhau. Tức là trong một chu kì, hai chất điểm đó sẽ gặp nhau 2 lần. Suy ra trong $20s=20T$ thì chúng gặp nhau $20.2=40$ lần. $\blacksquare$

Lil.Tee đã viết:

hokiuthui200 đã viết:

Bài toán: Hai chất điểm dao động điều hòa với cùng chu kì $T=1s$, biên độ lần lượt là $A$ và $2A$, trên hai trục tọa độ song song cùng chiều, cùng gốc tọa độ. Trong khoảng thời gian $20s$ thì số lần chúng gặp nhau là:
A.$20$
B.$40$
C.$10$
D.$41$

Click để xem thêm...

Lời giải​

• Hai chất điểm này dao động với cùng chu kì, suy ra tốc độ góc bằng nhau, tức là biểu diễn trên đường tròn thì $\overrightarrow{A}$ và $\overrightarrow{2A}$ quay được những góc bằng nhau trong những khoảng thời gian bằng nhau.
• Hai chất điểm này gặp nhau khi li độ của chúng bằng nhau, tức là \[\begin{align}
  & A\cos\left( \omega t+{{\varphi }_{1}} \right)=2A\cos\left( \omega t+{{\varphi }_{2}} \right) \\
  & \Rightarrow\cos\left( \omega t+{{\varphi }_{1}} \right)=2\cos\left( \omega t+{{\varphi }_{2}} \right) \\
  & \Rightarrow\cos\left( \omega t \right).\cos\left( {{\varphi }_{1}} \right)-\sin \left( \omega t \right).\sin \left( {{\varphi }_{1}} \right)=2\cos\left( \omega t \right).\cos\left( {{\varphi }_{2}} \right)-2\sin \left( \omega t \right).\sin \left( {{\varphi }_{2}} \right) \\
  & \Rightarrow\cos\left( \omega t \right)\left[\cos\left( {{\varphi }_{1}} \right)-2\cos\left( {{\varphi }_{2}} \right) \right]-\sin \left( \omega t \right)\left[ \sin \left( {{\varphi }_{1}} \right)+2\sin \left( {{\varphi }_{2}} \right) \right]=0 \\
  \end{align}\]
• Rõ ràng để giải được phương trình này thì phải biết được các pha ban đầu, nên đề bài không chặt.
• Với những đáp án như trên, mình nghĩ tác giả bài toán này cho các pha ban đầu bằng $0$. Khi đó \[\begin{align}
  &\cos\left( \omega t \right)\left[\cos\left( 0 \right)-2\cos\left( 0 \right) \right]-\sin \left( \omega t \right)\left[ \sin \left( 0 \right)+2\sin \left( 0 \right) \right]=0 \\
  & \Rightarrow\cos\left( \omega t \right)=0 \\
  & \Rightarrow \dfrac{2\pi }{T}t=\dfrac{\pi }{2}+k\pi \\
  & \Rightarrow 0<\dfrac{1}{4}+\dfrac{k}{2}\le 20 \\
  & \Rightarrow -\dfrac{1}{2}<k\le 39.5 \\
  \end{align}\]
• Suy ra $k=0;1;....;39$ tức là chúng sẽ gặp nhau $40$ lần.
• Chọn B.
• Ngoài ra, với điều kiện pha ban đầu bằng 0, chúng ta còn có thể lí luận như sau:
• Pha ban đầu trùng nhau, nên $\overrightarrow{A}$ và $\overrightarrow{2A}$ nằm đè lên nhau và cùng quay. Khi chúng quay đến các góc $\dfrac{\pi}{2}$ và $\dfrac{3 \pi}{2}$ thì hình chiếu của chúng trùng nhau (tại vị trí $x=0$), tức là chất điểm sẽ gặp nhau. Tức là trong một chu kì, hai chất điểm đó sẽ gặp nhau 2 lần. Suy ra trong $20s=20T$ thì chúng gặp nhau $20.2=40$ lần. $\blacksquare$

Click để xem thêm...

hokiuthui200 đã viết:

Bài này thầy em giải theo cách sau:
Thời gian mà $n$ lần liên tiếp $2$ vật gặp nhau:
$$\Delta {t}^{'}=(n-1).\dfrac{T}{2}$$$$\Leftrightarrow 20=\dfrac{n-1}{2}$$$$\Leftrightarrow 40=n-1$$
$\Rightarrow n=41$
Đáp án là D.

Click để xem thêm...