C biến thiên Thay đổi C đến khi $U_{AM}+U_{MB}$ có giá trị lớn nhất thì $U_{C}$ =120V. Tính U

proudofyou

New Member
Bài toán
Đoạn mạch AB gồm 2 đoạn mạch mắc nối tiếp : đoạn mạch AM gồm 2 trong 3 phần tử RLC (cuộn dây thuần cảm) , đoạn mạch MB chỉ gồm tụ điện có C thay đổi được. Đặt vào 2 đầu mạch AB điện áp xoay chiều có giá trị hiệu dụng là U thì thấy điện áp 2 đầu AM sớm pha $30^{o}$ so với i. Thay đổi C đến khi $U_{AM}+U_{MB}$ có giá trị lớn nhất thì $U_{C}$=120V. Tính U
A. 120V
B. 150V
C. 60V
D. 200V
 
Do $U_{AM}$ sớm pha hơn $i$ một góc $30^0$ nên đoạn mạch $AM$ chứa $R$ thuần và $L$ thuần.
Ta có :
$$\tan \varphi_{AM}=\dfrac{Z_L}{R}=\sqrt{3} \Leftrightarrow R=\sqrt{3}Z_L$$
$$U_{AM}+U_{MB}=U\left(\dfrac{\sqrt{Z_L^2+R^2}+Z_C}{\sqrt{R^2+\left(Z_L-Z_C \right)^2}} \right)=U\left(\dfrac{2Z_L+Z_C}{\sqrt{4Z_L^2+Z_C^2-2Z_LZ_C}} \right)$$
Như vậy $U_{AM}+U_{MB}$ đạt giá trị cực đại khi và chỉ khi $\dfrac{2Z_L+Z_C}{\sqrt{4Z_L^2+Z_C^2-2Z_LZ_C}}$ cực đại.
Xét $f\left(Z_C \right)= \dfrac{2Z_L+Z_C}{\sqrt{4Z_L^2+Z_C^2-2Z_LZ_C}}$
Khảo sát hàm $f\left(Z_C \right)$, dễ thấy $f'\left(Z_C \right)=0 \Leftrightarrow Z_C=2Z_L$ và từ bảng biến thiên suy ra được $f\left(Z_C \right)_{\max} $ tại $Z_C=2Z_L$.

Khi đó $U_C=\dfrac{UZ_C}{\sqrt{4Z_L^2+Z_C^2-2Z_LZ_C}}=U=120$ $V$.
Vậy đáp án đúng là A.
 
Bài toán
Đoạn mạch AB gồm 2 đoạn mạch mắc nối tiếp : đoạn mạch AM gồm 2 trong 3 phần tử RLC (cuộn dây thuần cảm ) , đoạn mạch MB chỉ gồm tụ điện có C thay đổi được . Đặt vào 2 đầu mạch AB điện áp xoay chiều có giá trị hiệu dụng là U thì thấy điện áp 2 đầu AM sớm pha $30^{o}$ so với i. Thay đổi C đến khi $U_{AM}+U_{MB}$ có giá trị lớn nhất thì $U_{C}$=120V. Tính U
A. 120V
B. 150V
C. 60V
D. 200V
Lời giải

Ta có $u_{AN}$ lệch pha với $u_{NB}$ một góc là $120^o$.

Ta có:

$$U^2=U_{AN}^2+U_{NB}^2-2U_{AN} U_{NB} \cos 120^o .$$

Theo Cauchy- Schwarz:

$$U_{AN}^2+U_{NB}^2 \geq \dfrac{\left(U_{AN} +U_{NB}\right)^2}{2}.$$

Theo AM-GM:

$$U_{AN} U_{NB} \leq \dfrac{\left(U_{AN}+U_{NB}\right)^2}{4}.$$

Do đó:

$$U^2 \geq X^2 + \dfrac{1}{2} X^2 \cos 120^o.$$

Với:

$$X=U_{AN}+U_{MB}.$$

Dấu bằng xảy ra khi:

$$U_{AN}=U_{NB}.$$
Từ đó chọn $A$.
 
Em/mình xin bổ sung 1 cách nữa. Hi.
capture1.GIF
Ta có:
$$\dfrac{U}{\sin \dfrac{\pi }{3}}=\dfrac{U_{_{MB}}}{\sin \varphi }\leftrightarrow U_{MB}=U\dfrac{\sin \varphi }{\sin \dfrac{\pi }{3}}$$
Tương tự:
$$U_{AM}=U\dfrac{\sin \left(\dfrac{2\pi }{3}-\varphi \right)}{\sin \dfrac{\pi }{3}}$$
$$\rightarrow U_{AM}+U_{MB}=U\left(\dfrac{\sin \varphi }{\sin \dfrac{\pi }{3}}+\dfrac{\sin \left(\dfrac{2\pi }{3}-\varphi \right)}{\sin \dfrac{\pi }{3} } \right)$$
$$=2U\cos \left(\dfrac{\pi }{3}-\varphi \right)\leq 2U$$
$\rightarrow \varphi =\dfrac{\pi }{3}$ Hay tam giác đều; vậy U=Uc=120(V) :D
 

Quảng cáo

Back
Top