Tìm cường độ điện trường tại trực tâm $H$ của 3 điểm trên sao cho $\Delta ABC$ có diện tích...

Bài toán
Cho ba điện tích điểm A, B, C cùng được tích điện q(q>0) sao cho 3 điểm A, B, C nội tiếp đường tròn có bán kính $R$. Tìm cường độ điện trường tại trực tâm $H$ của 3 điểm trên sao cho $\Delta ABC$ có diện tích lớn nhất. Cho biết hằng số điện môi là $\epsilon$

gsxoan đã viết:

Bài toán
Cho ba điện tích điểm A, B, C cùng được tích điện q(q>0) sao cho 3 điểm A, B, C nội tiếp đường tròn có bán kính $R$. Tìm cường độ điện trường tại trực tâm $H$ của 3 điểm trên sao cho $\Delta ABC$ có diện tích lớn nhất. Cho biết hằng số điện môi là $\epsilon$

Click để xem thêm...

Lời giải
Tam giác nội tiếp đường tròn có diện tích lớn nhất khi nó là tam giác đều. Khi đó cường độ điện trường tổng hợp: $\vec E_1+\vec E_2+\vec E_3=0$

minhtangv đã viết:

Lời giải
Tam giác nội tiếp đường tròn có diện tích lớn nhất khi nó là tam giác đều. Khi đó cường độ điện trường tổng hợp: $\vec E_1+\vec E_2+\vec E_3=0$

Click để xem thêm...

Thầy chứng minh đi nhé. Còn việc dự đoán thì dễ dàng mà thầy :D

Chứng minh
Vẽ tam giác thường ABC nội tiếp đường tròn tâm O bán kính r
Ta có diện tích tam giác đều nội tiếp đường tròn (O; r) có $S=r^2\dfrac{3\sqrt3}{4}$
Gọi I là trung điểm cung BC có chứa A
Dựng OI vuông góc BC tại H và cắt (O; r) tại K
Ta có Diện tích tam giác ABC < diện tích tam giác BIC
$S_{BIC}= IH.HB$
${S_{BIC}}^2=HB^2.IH^2$
Lại có: $HB^2=KH.IH$ (Hệ thức lượng)
Do đó: ${S_{BIC}}^2=KH.IH^3
=\left(2r−IH\right)IH^3=IH^3\left(6r−3IH\right)\dfrac{1}{3}$
Áp dụng BĐT Cauchy ta có
$HI+HI+HI+\left(6r−3HI\right)
≥4\sqrt[4]{HI^3.\left(6r−3IH\right)}$
$⇔\dfrac{3r}{2}≥4\sqrt[4]{HI^2.\left(6r−3IH\right)}$
$⇒\dfrac{81r^4}{16}≥IH^3\left(6r−3IH\right)$
$⇔\dfrac{27r^2}{16}≥IH^3\left(2r−IH\right)$
$⇒\dfrac{{3\sqrt 3}{4}}≥IH^3\left(2r−IH\right)=S_{BIC}$
Do đó: ${S_{ABC}}\leq {S_{BIC}}$
Dấu "=" xảy ra khi $HI=6r-3IH$
Do đó $HI=\dfrac{3r}{2} \Rightarrow đpcm$