Tìm mối liên hệ $R_1, R_2, C_1, C_2$

lvcat

Super Moderator
Super Moderator
Bài toán
Một đoạn mạch $AB$ gồm đoạn $AM$ và $MB$ mắc nối tiếp. Đoạn $AM$ có điện trở thuần $R_1$ nối tiếp với tụ điện có điện dung $C_1$, $MB$ có điện trở thuần $R_2$ nối tiếp tụ điện có điện dung $C_2$. Khi đặt điện áp có $U_0$ và $f$ không đổi vào hai đầu đoạn mạch $AB$ thì tổng trở $Z_{AB}=Z_{AM}+Z_{MB}$. Tìm hệ thức liên hệ giữa $R_1,R_2,C_1,C_2$

Đây không phải là một bài toán khó nhưng nó có 1 điểm khá thú vị, các bạn làm thử :D
 
Để tổng trở hai đầu đoạn mạch $Z_{AB}=Z_{AM}+Z_{MB}$ thì $$\tan \varphi _{AM}=\tan \varphi _{MB}\Leftrightarrow \dfrac{-Z_{C_{1}}}{R_{1}}=\dfrac{-Z_{C_{2}}}{R_{2}}\Leftrightarrow C_{1}R_{1}=C_{2}R_{2}$$
 
__Black_Cat____! đã viết:
Để tổng trở hai đầu đoạn mạch $Z_{AB}=Z_{AM}+Z_{MB}$ thì $$\tan \varphi _{AM}=\tan \varphi _{MB}\Leftrightarrow \dfrac{-Z_{C_{1}}}{R_{1}}=\dfrac{-Z_{C_{2}}}{R_{2}}\Leftrightarrow C_{1}R_{1}=C_{2}R_{2}$$

Đây là cách dùng giản đồ, còn cách phân tích đại số nữa, bạn thử làm để xem có gì hay .
 
lvcat đã viết:
Bài toán:
Một đoạn mạch $AB$ gồm đoạn $AM$ và $MB$ mắc nối tiếp. Đoạn $AM$ có điện trở thuần $R_1$ nối tiếp với tụ điện có điện dung $C_1$, $MB$ có điện trở thuần $R_2$ nối tiếp tụ điện có điện dung $C_2$. Khi đặt điện áp có $U_0$ và $f$ không đổi vào hai đầu đoạn mạch $AB$ thì tổng trở $Z_{AB}=Z_{AM}+Z_{MB}$. Tìm hệ thức liên hệ giữa $R_1,R_2,C_1,C_2$

[ithink]Đây không phải là một bài toán khó nhưng nó có 1 điểm khá thú vị, các bạn làm thử :D[/ithink]

Khánh ơi chắc cậu suy nghĩ giống tớ đó. BĐT Minskowski:
\[ \sqrt{R^2_1+Z^2_{C_1}}+\sqrt{R^2_2+Z^2_{C_2}}=\sqrt{(R_1+R_2)^2+(Z_{C_1}+Z_{C_2})^2}\]
Dạng chuẩn của BĐT đó là:
\[ \sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{c^2+d^2} \ge \sqrt{(a+b)^2+(c+d)^2}\]
Dấu bằng xảy ra khi:
\[ \dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\]
Áp dụng vào bài toán suy ra hệ thức liên hệ:
\[ C_1.R_1=C_2.R_2\]
 
lvcat đã viết:
Bài toán:
Một đoạn mạch $AB$ gồm đoạn $AM$ và $MB$ mắc nối tiếp. Đoạn $AM$ có điện trở thuần $R_1$ nối tiếp với tụ điện có điện dung $C_1$, $MB$ có điện trở thuần $R_2$ nối tiếp tụ điện có điện dung $C_2$. Khi đặt điện áp có $U_0$ và $f$ không đổi vào hai đầu đoạn mạch $AB$ thì tổng trở $Z_{AB}=Z_{AM}+Z_{MB}$. Tìm hệ thức liên hệ giữa $R_1,R_2,C_1,C_2$

[ithink]Đây không phải là một bài toán khó nhưng nó có 1 điểm khá thú vị, các bạn làm thử :D[/ithink]

Có lẽ điều thú vị mà em nói đến là bất đẳng thức, bởi $Z_{AB}=Z_{AM}+Z_{MB}$ chính là đẳng thức của Bất đẳng thức $Minkowski$ :D.
Thật vậy, sử dụng bất đẳng thức $Minkowski$, ta có: $$\begin{align}
{{Z}_{AM}}+{{Z}_{MB}} & =\sqrt{R_{1}^{2}+Z_{{{C}_{1}}}^{2}}+\sqrt{R_{2}^{2}+Z_{{{C}_{2}}}^{2}} \\
& \ge \sqrt{{{\left( {{R}_{1}}+{{R}_{2}} \right)}^{2}}+{{\left( {{Z}_{{{C}_{1}}}}+{{Z}_{{{C}_{2}}}} \right)}^{2}}} \\
& ={{Z}_{AB}}. \\
\end{align}$$ Vì đẳng thức xảy ra, nên $$\dfrac{{{R}_{1}}}{{{R}_{2}}}=\dfrac{{{Z}_{{{C}_{1}}}}}{{{Z}_{{{C}_{2}}}}}\Leftrightarrow {{R}_{1}}{{C}_{1}}={{R}_{2}}{{C}_{2}}. \ \blacksquare$$
 
Last edited:
Lil.Tee đã viết:
Có lẽ điều thú vị mà em nói đến là bất đẳng thức, bởi $Z_{AB}=Z_{AM}+Z_{MB}$ chính là đẳng thức của Bất đẳng thức $Minkowski$ :D.
Thật vậy, sử dụng bất đẳng thức $Minkowski$, ta có: $$\begin{align}
{{Z}_{AM}}+{{Z}_{MB}} & =\sqrt{R_{1}^{2}+Z_{{{C}_{1}}}^{2}}+\sqrt{R_{2}^{2}+Z_{{{C}_{2}}}^{2}} \\
& \ge \sqrt{{{\left( {{R}_{1}}+{{R}_{2}} \right)}^{2}}+{{\left( {{Z}_{{{C}_{1}}}}+{{Z}_{{{C}_{2}}}} \right)}^{2}}} \\
& ={{Z}_{AB}}. \\
\end{align}$$ Vì đẳng thức xảy ra, nên $$\dfrac{{{R}_{1}}}{{{R}_{2}}}=\dfrac{{{Z}_{{{C}_{1}}}}}{{{Z}_{{{C}_{2}}}}}\Leftrightarrow {{R}_{1}}{{C}_{1}}={{R}_{2}}{{C}_{2}}. \ \blacksquare$$

Tư tưởng lớn =))
 
Lần chỉnh sửa cuối bởi 1 quản trị viên:
lvcat đã viết:
Một đoạn mạch $AB$ gồm đoạn $AM$ và $MB$ mắc nối tiếp. Đoạn $AM$ có điện trở thuần $R_1$ nối tiếp với tụ điện có điện dung $C_1$, $MB$ có điện trở thuần $R_2$ nối tiếp tụ điện có điện dung $C_2$. Khi đặt điện áp có $U_0$ và $f$ không đổi vào hai đầu đoạn mạch $AB$ thì tổng trở $Z_{AB}=Z_{AM}+Z_{MB}$. Tìm hệ thức liên hệ giữa $R_1,R_2,C_1,C_2$
Đây không phải là một bài toán khó nhưng nó có 1 điểm khá thú vị, các bạn làm thử

Không biết đây có phải là một cách không
Dựa vào biểu thức :$Z_{AB}=Z_{AM}+Z_{MB}$, suy ra $\varphi _{AM}=\varphi _{MB} \Rightarrow \tan \varphi _{AM} =\tan \varphi _{MB}$ $ \Leftrightarrow \dfrac{{{Z}_{AM}}}{{{R}_{1}}}=\dfrac{{{Z}_{MB}}}{{{R}_{2}}}\Leftrightarrow {{C}_{1}}{{R}_{1}}={{C}_{2}}{{R}_{2}}$
 
${Btt}_{14}^{02}$ đã viết:


Không biết đây có phải là một cách không
Dựa vào biểu thức :$Z_{AB}=Z_{AM}+Z_{MB}$,suy ra $\varphi _{AM}=\varphi _{MB} \Rightarrow \tan \varphi _{AM} =\tan \varphi _{MB}$ $ \Leftrightarrow \dfrac{{{Z}_{AM}}}{{{R}_{1}}}=\dfrac{{{Z}_{MB}}}{{{R}_{2}}}\Leftrightarrow {{C}_{1}}{{R}_{1}}={{C}_{2}}{{R}_{2}}$

Cách của em giống với lời giải đầu tiên :D.
 
•Bài này có thể vẽ giản đề vecto và dùng tam giác đồng dạng.
•Một bài tương tự cho kiểu bài trên:hai cuộn dây $(r_1,L_1)$ và $(r_2,L_2)$ mắc nối tiếp và được đặt vào một hiễu điện thế xoay chiều có giá trị hiệu dụng $U$.Gọi $U_1$ và $U_2$ là hiệu điện thế hiệu dụng tương ứng giữa hai cuộn dây $(r_1,L_1)$ và $(r_2,L_2)$.Điều kiện để $U=U_1+U_2$ là:$\dfrac{L_1}{R_1}=\dfrac{L_2}{R_2}$
 
tkvatliphothong đã viết:
•Bài này có thể vẽ giản đề vecto và dùng tam giác đồng dạng.
•Một bài tương tự cho kiểu bài trên:hai cuộn dây $(r_1,L_1)$ và $(r_2,L_2)$ mắc nối tiếp và được đặt vào một hiễu điện thế xoay chiều có giá trị hiệu dụng $U$.Gọi $U_1$ và $U_2$ là hiệu điện thế hiệu dụng tương ứng giữa hai cuộn dây $(r_1,L_1)$ và $(r_2,L_2)$.Điều kiện để $U=U_1+U_2$ là:$\dfrac{L_1}{R_1}=\dfrac{L_2}{R_2}$

Bài này vẫn có thể làm theo Bất đẳng thức $Minkowski$ :)
 

Quảng cáo

Back
Top