Google
Câu hỏi: Cho \(n\) điểm trên mặt phẳng. Bạn An kí hiệu chúng là \(A_1, A_2,…, A_n\). Bạn Bình kí hiệu chúng là \(B_1, B_2,…, B_n\). Chứng minh rằng
\(\overrightarrow {{A_1}{B_1}} + \overrightarrow {{A_2}{B_2}} + ... + \overrightarrow {{A_n}{B_n}} = \overrightarrow 0 \).
\(\overrightarrow {{A_1}{B_1}} + \overrightarrow {{A_2}{B_2}} + ... + \overrightarrow {{A_n}{B_n}} = \overrightarrow 0 \).
Lời giải chi tiết
Lấy một điểm \(O\) bất kì ta có
\(\begin{array}{l}\overrightarrow {{A_1}{B_1}} + \overrightarrow {{A_2}{B_2}} + ... + \overrightarrow {{A_n}{B_n}} \\ = \overrightarrow {O{B_1}} - \overrightarrow {O{A_1}} + \overrightarrow {O{B_2}} - \overrightarrow {O{A_2}} + ... + \overrightarrow {O{B_n}} - \overrightarrow {O{A_n}} \\ = (\overrightarrow {O{B_1}} + \overrightarrow {O{B_2}} + ... + \overrightarrow {O{B_n}}) - (\overrightarrow {O{A_1}} + \overrightarrow {O{A_2}} + ... + \overrightarrow {O{A_n}})\end{array}\)
Vì \(n\) điểm \(B_1, B_2,... b_n\) cũng là \(n\) điểm \(A_1, A_2,…, A_n\) nhưng kí hiệu một cách khác, cho nên ta có
\(\overrightarrow {O{B_1}} + \overrightarrow {O{B_2}} + ... + \overrightarrow {O{B_n}}\)
\( = \overrightarrow {O{A_1}} + \overrightarrow {O{A_2}} + ... + \overrightarrow {O{A_n}} \)
Suy ra \(\overrightarrow {{A_1}{B_1}} + \overrightarrow {{A_2}{B_2}} + ... + \overrightarrow {{A_n}{B_n}} = \overrightarrow 0 \).
Lấy một điểm \(O\) bất kì ta có
\(\begin{array}{l}\overrightarrow {{A_1}{B_1}} + \overrightarrow {{A_2}{B_2}} + ... + \overrightarrow {{A_n}{B_n}} \\ = \overrightarrow {O{B_1}} - \overrightarrow {O{A_1}} + \overrightarrow {O{B_2}} - \overrightarrow {O{A_2}} + ... + \overrightarrow {O{B_n}} - \overrightarrow {O{A_n}} \\ = (\overrightarrow {O{B_1}} + \overrightarrow {O{B_2}} + ... + \overrightarrow {O{B_n}}) - (\overrightarrow {O{A_1}} + \overrightarrow {O{A_2}} + ... + \overrightarrow {O{A_n}})\end{array}\)
Vì \(n\) điểm \(B_1, B_2,... b_n\) cũng là \(n\) điểm \(A_1, A_2,…, A_n\) nhưng kí hiệu một cách khác, cho nên ta có
\(\overrightarrow {O{B_1}} + \overrightarrow {O{B_2}} + ... + \overrightarrow {O{B_n}}\)
\( = \overrightarrow {O{A_1}} + \overrightarrow {O{A_2}} + ... + \overrightarrow {O{A_n}} \)
Suy ra \(\overrightarrow {{A_1}{B_1}} + \overrightarrow {{A_2}{B_2}} + ... + \overrightarrow {{A_n}{B_n}} = \overrightarrow 0 \).