Bài 23 trang 8 SBT Hình Học 11 nâng cao

Câu hỏi: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d và đường tròn (C) lần lượt có phương trình:
\(\eqalign{
& d: Ax + By + C = 0 \cr 
& \left(C \right): {x^2} + {y^2} + 2ax + 2by + c = 0 \cr} \)

Câu a​

Viết phương trình ảnh của đường thẳng d qua phép đối xứng trục có trục đối xứng là Ox.
Lời giải chi tiết:
Phép đối xứng qua Ox biến điểm \(M\left( {x; y} \right)\) thành \(M'\left( {x'; y'} \right)\) mà x = x’ và y = - y’.
Nếu \(M\left( {x; y} \right)\) nằm trên d thì \(Ax + Bx + C = 0\) hay \(A'x - By' + C = 0\).
Vậy \(M'\left( {x'; y'} \right)\) thỏa mãn phương trình Ax - By + C = 0. Đó là phương trình ảnh của d qua phép đối xứng trục Ox.

Câu b​

Viết phương trình ảnh của dường tròn (C) qua phép đối xứng trục có trục đối xứng là Oy.
Lời giải chi tiết:
Phép đối xứng qua Oy biến điểm \(M\left( {x; y} \right)\) thành \(M'\left( {x'; y'} \right)\) mà x = - x’ và y = y’.
Nếu \(M\left( {x; y} \right)\) nằm trên (C) thì:
\(\eqalign{
& {x^2} + {y^2} + 2ax + 2by + c = 0 \cr 
& \Leftrightarrow x{'^2} + y{'^2} - 2ax' + 2by' + c = 0 \cr} \)
Vậy \(M'\left( {x'; y'} \right)\) thỏa mãn phương trình \({x^2} + {y^2} - 2ax + 2by + c = 0.\)
Đó là phương trình ảnh của (C) qua phép đối xứng trục với trục là Oy.

Câu c​

Viết phương trình ảnh của đường tròn (C) qua phép đối xứng trục có trục là đường thẳng bx - ay = 0.
Lời giải chi tiết:
Đường tròn (C) có tâm \(I\left( { - a; - b} \right)\), rõ ràng tâm I nằm trên đường thẳng bx - ay = 0.
Suy ra phép đối xứng qua đường thẳng đó biến (C) thành chính nó.
Vậy ảnh của (C) có phương trình trùng với phương trình của (C).