Cho hàm số $f\left( x \right)$ có bảng biến thiên của đạo hàm...

Đặt $\dfrac{1}{2}f\left( x \right)-1=t\Rightarrow f\left( x \right)=2t+2$
Ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{aligned}
& f\left( t \right)=2x+2 \\
& f\left( x \right)=2t+2 \\
\end{aligned} \right.$.
Từ đó ta suy ra: $f\left( t \right)+2t=f\left( x \right)+2x$ (1).
Xét hàm số: $g\left( x \right)=f\left( x \right)+2x$ trên $\mathbb{R}$.
Ta có $g'\left( x \right)=f'\left( x \right)+2\ge 0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$.
Suy ra hàm số $g\left( x \right)=f\left( x \right)+2x$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.
Từ phương trình (1) suy ra $t=x\Rightarrow f\left( x \right)=2x+2$.
Xét hàm số $h\left( x \right)=f\left( x \right)-2x-2$ trên $\mathbb{R}$.
Ta có $h'\left( x \right)=f'\left( x \right)-2$.
Dựa vào bảng biến thiên của đạo hàm $f'\left( x \right)$ như hình vẽ ta có dấu $h'\left( x \right)$
Vậy $h\left( x \right)$ đồng biến trên $\left( -\infty ;-3 \right),(2;+\infty )$ và nghịch biến $\left( 1;2 \right)$.
Suy ra số nghiệm phương trình tối đa là 3 nghiệm.