Cho hàm số $f\left( x \right)={{x}^{4}}-32{{x}^{2}}+4$. Có bao...

Đặt $t={{x}^{2}}+4x+5$, với $x\in \left( -4;1 \right)$ $\Rightarrow {{x}^{2}}+4x+5-t=0$ $\left( * \right)$.
Ta có: ${t}'=2x+4$.
${t}'=0\Leftrightarrow x=-2$.
Bảng biến thiên:
Do đó, với $t<1$, phương trình $\left( * \right)$ vô nghiệm.
Với $t=1$ hoặc $5\le t<10$, phương trình $\left( * \right)$ có nghiệm duy nhất.
Với $1<t<5$, phương trình $\left( * \right)$ có hai nghiệm phân biệt thoả mãn ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-4$.
Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow f\left( t \right)=m$ có hai nghiệm phân biệt thuộc khoảng $\left( 1;5 \right)$.
Xét hàm số $f\left( t \right)={{t}^{4}}-32{{t}^{2}}+4$ với $t\in \left( 1;5 \right)$.
${f}'\left( t \right)=4{{t}^{3}}-64t$.
${f}'\left( t \right)=0\Leftrightarrow t=4$ (Do $t\in \left( 1;5 \right)$ ).
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên, ta có yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow -252<m<-171$.
Mà $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \left\{ -251;-250;...;-172 \right\}$.
Vậy có $80$ giá trị cần tìm.