Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có $ABCD$ là hình vuông, $SA$ vuông góc với mặt phẳng $\left( ABCD \right),AB=a,SC=a\sqrt{5}$. Khoảng cách từ điểm $C$ đến mặt phẳng $\left( SBD \right)$ bằng?
A. $\dfrac{a\sqrt{21}}{14}$.
B. $\dfrac{a\sqrt{21}}{7}$.
C. $\dfrac{a\sqrt{3}}{7}$.
D. $2a$.
Gọi $AC\cap BD=O$.
$AC\cap \left( SBD \right)=O\Rightarrow d\left( C,\left( SBD \right) \right)=\dfrac{CO}{AO}d\left( A,\left( SBD \right) \right)=d\left( A,\left( SBD \right) \right)$.
Ta có $BD\bot SA,BD\bot SO\Rightarrow BD\bot \left( SAO \right)$. Kẻ $AH\bot SO$, lại có $BD\bot \left( SAO \right)\Rightarrow BD\bot AH\Rightarrow AH\bot \left( SBD \right)$, khi đó $d\left( A,\left( SBD \right) \right)=AH$.
$AC=\sqrt{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}=a\sqrt{2},SA=\sqrt{S{{C}^{2}}-A{{C}^{2}}}=a\sqrt{3};AO=\dfrac{AC}{2}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$.
Suy ra $AH=\dfrac{SA.AC}{\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{C}^{2}}}}=\dfrac{a\sqrt{21}}{7}$.
A. $\dfrac{a\sqrt{21}}{14}$.
B. $\dfrac{a\sqrt{21}}{7}$.
C. $\dfrac{a\sqrt{3}}{7}$.
D. $2a$.
$AC\cap \left( SBD \right)=O\Rightarrow d\left( C,\left( SBD \right) \right)=\dfrac{CO}{AO}d\left( A,\left( SBD \right) \right)=d\left( A,\left( SBD \right) \right)$.
Ta có $BD\bot SA,BD\bot SO\Rightarrow BD\bot \left( SAO \right)$. Kẻ $AH\bot SO$, lại có $BD\bot \left( SAO \right)\Rightarrow BD\bot AH\Rightarrow AH\bot \left( SBD \right)$, khi đó $d\left( A,\left( SBD \right) \right)=AH$.
$AC=\sqrt{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}=a\sqrt{2},SA=\sqrt{S{{C}^{2}}-A{{C}^{2}}}=a\sqrt{3};AO=\dfrac{AC}{2}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$.
Suy ra $AH=\dfrac{SA.AC}{\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{C}^{2}}}}=\dfrac{a\sqrt{21}}{7}$.
Đáp án B.