Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có $SA$ vuông góc với $\left( ABCD \right)$, đáy $ABCD$ là hình chữ nhật. Biết rằng $SA=a$, $AB=a$, $AD=2a$. Tính theo $a$ khoảng cách từ điểm $C$ đến mặt phẳng $\left( SBD \right)$
A. $\dfrac{4a}{3}$.
B. $\dfrac{2a}{3}$.
C. $\dfrac{a}{2}$.
D. $\dfrac{a}{3}$.
Do $OC=OA$ nên $d\left( C,\left( SBD \right) \right)=d\left( A,\left( SBD \right) \right)$.
Kẻ $AE$ vuông với $BD$ $\Rightarrow BD\bot \left( SAE \right)$.
Trong $\left( SAE \right)$, kẻ $AH\bot SE$, mà $AH\bot BD\left( BD\bot \left( SAE \right) \right)$ $\Rightarrow AH\bot \left( SBD \right)$.
$\Rightarrow d\left( C,\left( SBD \right) \right)=d\left( A,\left( SBD \right) \right)=AH$.
Ta có tam giác $SAE$ vuông tại $A$ đường cao $AH$, tam giác $ABD$ vuông tại $A$ đường cao $AE$ :
Ta có $\dfrac{1}{A{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{S}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{E}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{S}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{B}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{D}^{2}}}=\dfrac{1}{{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( 2a \right)}^{2}}}=\dfrac{9}{4{{a}^{2}}}\Rightarrow AH=\dfrac{2a}{3}$.
A. $\dfrac{4a}{3}$.
B. $\dfrac{2a}{3}$.
C. $\dfrac{a}{2}$.
D. $\dfrac{a}{3}$.
Kẻ $AE$ vuông với $BD$ $\Rightarrow BD\bot \left( SAE \right)$.
Trong $\left( SAE \right)$, kẻ $AH\bot SE$, mà $AH\bot BD\left( BD\bot \left( SAE \right) \right)$ $\Rightarrow AH\bot \left( SBD \right)$.
$\Rightarrow d\left( C,\left( SBD \right) \right)=d\left( A,\left( SBD \right) \right)=AH$.
Ta có tam giác $SAE$ vuông tại $A$ đường cao $AH$, tam giác $ABD$ vuông tại $A$ đường cao $AE$ :
Ta có $\dfrac{1}{A{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{S}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{E}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{S}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{B}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{D}^{2}}}=\dfrac{1}{{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( 2a \right)}^{2}}}=\dfrac{9}{4{{a}^{2}}}\Rightarrow AH=\dfrac{2a}{3}$.
Đáp án B.