Google
Câu hỏi: Cho hình trụ có $O$ và $O^{\prime}$ là tâm hai đáy. Xét hình chữ nhật $A, B$ cùng thuộc $(O)$ và $C, D$ cùng thuộc $\left(O^{\prime}\right)$ sao cho $A B=\sqrt{3} a, B C=2 a$ đồng thời mặt phẳng $(A B C D)$ tạo với mặt phẳng đáy của hình trụ góc $60^{\circ}$. Thể tích khối trụ đã cho bằng
A. $\pi \sqrt{3} a^3$.
B. $\dfrac{\pi \sqrt{3} a^3}{9}$.
C. $2 \pi \sqrt{3} a^3$.
D. $\dfrac{\pi \sqrt{3} a^3}{3}$.
Gọi $(P)$ là mặt đáy chứa đường tròn $\left(O^{\prime}\right)$ của hình trụ. Dựng hai đường sinh $A A^{\prime}$ và $B B^{\prime}$.
$
\begin{aligned}
& \text { Ta có }\left\{\begin{array} { l }
{ A D \perp C D } \\
{ A ^ { \prime } D \perp C D }
\end{array} \Rightarrow \left((A B \widehat{C D)},(P))=\left(A \widehat{D, A^{\prime} D}\right)=\widehat{A D A^{\prime}}=60^{\circ}\right.\right. \\
& \Rightarrow h=A A^{\prime}=A D \cdot \sin 60^{\circ}=a \sqrt{3} \text { và } A^{\prime} D=A D \cos 60^{\circ}=a . \\
& \text { Mặt khác } 4 R^2=B^{\prime} D^2=B^{\prime} A^{\prime 2}+A^{\prime} D^2=4 a^2 \Leftrightarrow R=a \\
& \text { Vậy } V=\pi R^2 h=\pi a^3 \sqrt{3} \text {. }
\end{aligned}
$
A. $\pi \sqrt{3} a^3$.
B. $\dfrac{\pi \sqrt{3} a^3}{9}$.
C. $2 \pi \sqrt{3} a^3$.
D. $\dfrac{\pi \sqrt{3} a^3}{3}$.
$
\begin{aligned}
& \text { Ta có }\left\{\begin{array} { l }
{ A D \perp C D } \\
{ A ^ { \prime } D \perp C D }
\end{array} \Rightarrow \left((A B \widehat{C D)},(P))=\left(A \widehat{D, A^{\prime} D}\right)=\widehat{A D A^{\prime}}=60^{\circ}\right.\right. \\
& \Rightarrow h=A A^{\prime}=A D \cdot \sin 60^{\circ}=a \sqrt{3} \text { và } A^{\prime} D=A D \cos 60^{\circ}=a . \\
& \text { Mặt khác } 4 R^2=B^{\prime} D^2=B^{\prime} A^{\prime 2}+A^{\prime} D^2=4 a^2 \Leftrightarrow R=a \\
& \text { Vậy } V=\pi R^2 h=\pi a^3 \sqrt{3} \text {. }
\end{aligned}
$
Đáp án A.