Google
Câu hỏi: Cho khối chóp $S . A B C$ có $S A=2 a, S B=3 a, S C=a, \widehat{A S B}=90^{\circ}, \widehat{B S C}=60^{\circ}, \widehat{C S A}=120^{\circ}$. Khoảng cách từ $C$ đến mặt phẳng $(S A B)$ bằng
A. $\dfrac{2 a}{3}$.
B. $\dfrac{\sqrt{2} a}{2}$.
C. $\dfrac{a}{2}$.
D. $\dfrac{\sqrt{3} a}{2}$.
Trên các cạnh $S A, S B$ lây các điêm $A^{\prime}, B^{\prime}$ sao cho $S A^{\prime}=S B^{\prime}=a$.
Khi đó: $A^{\prime} B^{\prime}=a \sqrt{2}, B^{\prime} C^{\prime}=a, A^{\prime} C^{\prime}=\sqrt{S A^{\prime 2}+S C^{\prime 2}-2 S A^{\prime} \cdot S C^{\prime} \cdot \cos 120^{\circ}}=a \sqrt{3}$
$\Rightarrow \Delta A^{\prime} B^{\prime} C$ vuông tại $B^{\prime}$.
Gọi $H$ là trung điểm của $A^{\prime} C \Rightarrow H A^{\prime}=H B^{\prime}=H C$ mà $S A^{\prime}=S B^{\prime}=S C \Rightarrow S H \perp\left(A^{\prime} B^{\prime} C\right)$
$
\begin{aligned}
& \Rightarrow S H=\sqrt{S A^{\prime 2}-A^{\prime} H^2}=\dfrac{a}{2} \Rightarrow V_{S \cdot A \prime B \prime C}=\dfrac{1}{3} \cdot S H \cdot S_{A \prime B \prime C}=\dfrac{1}{3} \cdot S H \cdot \dfrac{1}{2} \cdot B^{\prime} C \cdot B^{\prime} A^{\prime}=\dfrac{\sqrt{2} a^6}{12} . \\
& \Rightarrow d\left(C,\left(S A^{\prime} B^{\prime}\right)\right)=\dfrac{3 \cdot V_{S \cdot A \prime B \prime C}}{S_{S A \prime B \prime}}=\dfrac{\dfrac{\sqrt{2} a^6}{4}}{\dfrac{a^2}{2}}=\dfrac{a \sqrt{2}}{2} \Rightarrow d(C,(S A B))=d\left(C,\left(S A^{\prime} B^{\prime}\right)\right)=\dfrac{a \sqrt{2}}{2} .
\end{aligned}
$
A. $\dfrac{2 a}{3}$.
B. $\dfrac{\sqrt{2} a}{2}$.
C. $\dfrac{a}{2}$.
D. $\dfrac{\sqrt{3} a}{2}$.
Khi đó: $A^{\prime} B^{\prime}=a \sqrt{2}, B^{\prime} C^{\prime}=a, A^{\prime} C^{\prime}=\sqrt{S A^{\prime 2}+S C^{\prime 2}-2 S A^{\prime} \cdot S C^{\prime} \cdot \cos 120^{\circ}}=a \sqrt{3}$
$\Rightarrow \Delta A^{\prime} B^{\prime} C$ vuông tại $B^{\prime}$.
Gọi $H$ là trung điểm của $A^{\prime} C \Rightarrow H A^{\prime}=H B^{\prime}=H C$ mà $S A^{\prime}=S B^{\prime}=S C \Rightarrow S H \perp\left(A^{\prime} B^{\prime} C\right)$
$
\begin{aligned}
& \Rightarrow S H=\sqrt{S A^{\prime 2}-A^{\prime} H^2}=\dfrac{a}{2} \Rightarrow V_{S \cdot A \prime B \prime C}=\dfrac{1}{3} \cdot S H \cdot S_{A \prime B \prime C}=\dfrac{1}{3} \cdot S H \cdot \dfrac{1}{2} \cdot B^{\prime} C \cdot B^{\prime} A^{\prime}=\dfrac{\sqrt{2} a^6}{12} . \\
& \Rightarrow d\left(C,\left(S A^{\prime} B^{\prime}\right)\right)=\dfrac{3 \cdot V_{S \cdot A \prime B \prime C}}{S_{S A \prime B \prime}}=\dfrac{\dfrac{\sqrt{2} a^6}{4}}{\dfrac{a^2}{2}}=\dfrac{a \sqrt{2}}{2} \Rightarrow d(C,(S A B))=d\left(C,\left(S A^{\prime} B^{\prime}\right)\right)=\dfrac{a \sqrt{2}}{2} .
\end{aligned}
$
Đáp án B.
