Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S . A B C$ có các cạnh bên $S A, S B, S C$ tạo với đáy các góc bằng nhau và đều bằng $30^{\circ}$. Biết $A B=5, B C=8, A C=7$, khoảng cách $d$ từ điểm $A$ đến mặt phẳng $(S B C)$ bằng
A. $d=\dfrac{35 \sqrt{39}}{13}$.
B. $d=\dfrac{35 \sqrt{39}}{52}$.
C. $d=\dfrac{35 \sqrt{13}}{52}$.
D. $d=\dfrac{35 \sqrt{13}}{26}$.
+) Kẻ $S H \perp(A B C)$ tại $H$.
+) Ta có $H A, H B, H C$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $S A, S B, S C$ lên $(A B C)$.
+) Theo giả thiết ta có $\widehat{S A H}=\widehat{S B H}=\widehat{S C H}=30^{\circ} \Rightarrow \triangle S A H=\triangle S B H=\triangle S C H \Rightarrow H A=H B=$ $H C$. Do đó $H$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\triangle A B C$.
$
\begin{aligned}
& \text { +) Ta có } V_{S \cdot A B C}=\dfrac{1}{3} d(A,(S B C)) \cdot S_{\triangle S B C} \Rightarrow d(A,(S B C))=\dfrac{3 V_{S . A B C}}{S_{\triangle S B C}},(*) \\
& \text { +) } p=\dfrac{A B+B C+A C}{2}=10 \Rightarrow S_{\triangle A B C}=\sqrt{p(p-A B)(p-B C)(p-A C)}=10 \sqrt{3} \\
& \text { +) } S_{\triangle A B C}=\dfrac{A B \cdot B C \cdot A C}{4 R} \Rightarrow H A=R=\dfrac{A B \cdot B C \cdot A C}{4 S_{\triangle A B C}}=\dfrac{7 \sqrt{3}}{3} \\
& \text { +) } S H=A H \cdot \tan 30^0=\dfrac{7}{3} \\
& \text { +) } V_{S . A B C}=\dfrac{1}{3} S H \cdot S_{\triangle A B C}=\dfrac{70 \sqrt{3}}{9} \\
& \text { +) } p^{\prime}=\dfrac{S B+S C+B C}{2}=\dfrac{26}{3} \Rightarrow S_{\triangle S B C}=\sqrt{p^{\prime}\left(p^{\prime}-S B\right)\left(p^{\prime}-S C\right)\left(p^{\prime}-B C\right)}=\dfrac{8 \sqrt{13}}{3}
\end{aligned}
$
Thế vào $(*)$ ta được $d(A,(S B C))=\dfrac{3 V_{S \cdot A B C}}{S_{\triangle S B C}}=\dfrac{\dfrac{70 \sqrt{3}}{3}}{\dfrac{8 \sqrt{13}}{3}}=\dfrac{35 \sqrt{39}}{52}$.
A. $d=\dfrac{35 \sqrt{39}}{13}$.
B. $d=\dfrac{35 \sqrt{39}}{52}$.
C. $d=\dfrac{35 \sqrt{13}}{52}$.
D. $d=\dfrac{35 \sqrt{13}}{26}$.
+) Ta có $H A, H B, H C$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $S A, S B, S C$ lên $(A B C)$.
+) Theo giả thiết ta có $\widehat{S A H}=\widehat{S B H}=\widehat{S C H}=30^{\circ} \Rightarrow \triangle S A H=\triangle S B H=\triangle S C H \Rightarrow H A=H B=$ $H C$. Do đó $H$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\triangle A B C$.
$
\begin{aligned}
& \text { +) Ta có } V_{S \cdot A B C}=\dfrac{1}{3} d(A,(S B C)) \cdot S_{\triangle S B C} \Rightarrow d(A,(S B C))=\dfrac{3 V_{S . A B C}}{S_{\triangle S B C}},(*) \\
& \text { +) } p=\dfrac{A B+B C+A C}{2}=10 \Rightarrow S_{\triangle A B C}=\sqrt{p(p-A B)(p-B C)(p-A C)}=10 \sqrt{3} \\
& \text { +) } S_{\triangle A B C}=\dfrac{A B \cdot B C \cdot A C}{4 R} \Rightarrow H A=R=\dfrac{A B \cdot B C \cdot A C}{4 S_{\triangle A B C}}=\dfrac{7 \sqrt{3}}{3} \\
& \text { +) } S H=A H \cdot \tan 30^0=\dfrac{7}{3} \\
& \text { +) } V_{S . A B C}=\dfrac{1}{3} S H \cdot S_{\triangle A B C}=\dfrac{70 \sqrt{3}}{9} \\
& \text { +) } p^{\prime}=\dfrac{S B+S C+B C}{2}=\dfrac{26}{3} \Rightarrow S_{\triangle S B C}=\sqrt{p^{\prime}\left(p^{\prime}-S B\right)\left(p^{\prime}-S C\right)\left(p^{\prime}-B C\right)}=\dfrac{8 \sqrt{13}}{3}
\end{aligned}
$
Thế vào $(*)$ ta được $d(A,(S B C))=\dfrac{3 V_{S \cdot A B C}}{S_{\triangle S B C}}=\dfrac{\dfrac{70 \sqrt{3}}{3}}{\dfrac{8 \sqrt{13}}{3}}=\dfrac{35 \sqrt{39}}{52}$.
Đáp án B.
