Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S \cdot A B C D$ có $S A$ vuông góc với mặt phẳng $(A B C D), S A=3 a$, đáy $A B C D$ là hình vuông cạnh $a$.Gọi $M$ là trung điểm của $S B$. Khoảng cách giữa $S C, D M$ bằng
A. $\dfrac{a}{\sqrt{6}}$.
B. $\dfrac{2 a}{\sqrt{6}}$.
C. $\dfrac{a}{3}$.
D. $\dfrac{2 a}{3}$.
Gọi $N$ là trung điểm của $B C \Rightarrow M N / / S C \Rightarrow S C / /(M N D)$.
Do đó: $d(S C, D M)=d(S C,(M N D))=d(B,(M N D))$.
Ta có: $V_{M \cdot B D N}=\dfrac{1}{3} d(M,(A B C D)) . S_{\triangle B D N}=\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{3 a}{2} \cdot \dfrac{a^2}{4}=\dfrac{a^3}{8}$.
Lại có: $M N=\dfrac{S C}{2}=\dfrac{\sqrt{11} a}{2} ; N D=\dfrac{\sqrt{5} a}{2} ; M D=\dfrac{\sqrt{14} a}{2}$.
Suy ra: $S_{\triangle M N D}=\dfrac{3 \sqrt{6} a^2}{8} \Rightarrow d(B,(M N D))=\dfrac{3 V_{M . B D N}}{S_{\triangle M N D}}=\dfrac{a}{\sqrt{6}}$.
Vậy khoảng cách cần tìm là $d=\dfrac{a}{\sqrt{6}}$.
A. $\dfrac{a}{\sqrt{6}}$.
B. $\dfrac{2 a}{\sqrt{6}}$.
C. $\dfrac{a}{3}$.
D. $\dfrac{2 a}{3}$.
Do đó: $d(S C, D M)=d(S C,(M N D))=d(B,(M N D))$.
Ta có: $V_{M \cdot B D N}=\dfrac{1}{3} d(M,(A B C D)) . S_{\triangle B D N}=\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{3 a}{2} \cdot \dfrac{a^2}{4}=\dfrac{a^3}{8}$.
Lại có: $M N=\dfrac{S C}{2}=\dfrac{\sqrt{11} a}{2} ; N D=\dfrac{\sqrt{5} a}{2} ; M D=\dfrac{\sqrt{14} a}{2}$.
Suy ra: $S_{\triangle M N D}=\dfrac{3 \sqrt{6} a^2}{8} \Rightarrow d(B,(M N D))=\dfrac{3 V_{M . B D N}}{S_{\triangle M N D}}=\dfrac{a}{\sqrt{6}}$.
Vậy khoảng cách cần tìm là $d=\dfrac{a}{\sqrt{6}}$.
Đáp án A.