Hai số phức $z, w$ thay đổi nhưng luôn thỏa mãn đẳng thức...

Ta có: $|z-i|=|\bar{z}+i|$ nên $\left|z^2-2 i z-1\right|=|z-i|^2=|\bar{z}+i|^2$.
Như vậy:
$
\begin{aligned}
& (1+i)\left|z^2-2 i z-1\right|=\dfrac{2019 \bar{z}+2019 i}{w}+2-2 i \Leftrightarrow(1+i)|\bar{z}+i|^2=\dfrac{2019(\bar{z}+i)}{w}+2-2 i \\
& \Leftrightarrow(1+i)|\bar{z}+i|^2+2 i-2=\dfrac{2019(\bar{z}+i)}{w} \Leftrightarrow|\bar{z}+i|^2-2+\left(|\bar{z}+i|^2+2\right) i=\dfrac{2019(\bar{z}+i)}{w} .
\end{aligned}
$
Điều kiện: $w \neq 0$ suy ra $\bar{z}+i \neq 0$ hay $|\bar{z}+i|>0$.
Đặt $t=|\bar{z}+i|, t>0$ ta có $t^2-2+\left(t^2+2\right) i=\dfrac{2019(\bar{z}+i)}{w}$. Lấy môđun hai vế ta được:
$
\begin{aligned}
& \sqrt{\left(t^2-2\right)^2+\left(t^2+2\right)^2}=\dfrac{2019|\bar{z}+i|}{|w|} \Leftrightarrow \sqrt{\left(t^2-2\right)^2+\left(t^2+2\right)^2}=\dfrac{2019 t}{|w|} \\
& \Leftrightarrow|w|=\dfrac{2019 t}{\sqrt{\left(t^2-2\right)^2+\left(t^2+2\right)^2}} \Leftrightarrow|w|=\dfrac{2019 t}{\sqrt{2 t^4+8}} . \\
& \Rightarrow|w| \leq \dfrac{2019 t}{2 \sqrt{2} t} \Leftrightarrow|w| \leq \dfrac{2019 \sqrt{2}}{4} . \\
& \text { Vậy } \max |w|=\dfrac{2009 \sqrt{2}}{4} \text { khi } 2 t^4=8 \Leftrightarrow t^4=4 \Leftrightarrow t=\sqrt{2} \Leftrightarrow|z-i|=\sqrt{2} .
\end{aligned}
$