Google
Câu hỏi: Sử dụng công thức Moa-vrơ để tính \(\sin 4\varphi \) và \(\cos 4\varphi \) theo các lũy thừa của \(\sin \varphi \) và \(\cos \varphi \)
Phương pháp giải
Công thức Moa-vrơ:
\(\begin{array}{l}
z = r\left({\cos \varphi + \sin \varphi } \right)\\
\Rightarrow {z^n} = {r^n}\left({\cos n\varphi + i\sin n\varphi } \right)
\end{array}\)
Lời giải chi tiết
Ta có: \(\cos 4\varphi + i\sin 4\varphi = {\left( {\cos \varphi + i\sin \varphi } \right)^4}\)
\(\eqalign{ & = {\cos ^4}\varphi + 4\left( {{{\cos }^3}\varphi } \right)\left({i\sin \varphi } \right) \cr &+ 6\left({{{\cos }^2}\varphi } \right)\left({{i^2}} \right){\sin ^2}\varphi \cr &+ 4\left({\cos \varphi } \right)\left({{i^3}{{\sin }^3}\varphi } \right) \cr &+ {i^4}{\sin ^4}\varphi \cr & = {\cos ^4}\varphi - 6{\cos ^2}\varphi {\sin ^2}\varphi + {\sin ^4}\varphi \cr &+ \left({4{{\cos }^3}\varphi \sin \varphi - 4\cos \varphi {{\sin }^3}\varphi } \right)i. \cr} \)
Từ đó: \(\cos 4\varphi = {\cos ^4}\varphi - 6{\cos ^2}\varphi {\sin ^2}\varphi + {\sin ^4}\varphi \)
\(\sin 4\varphi = 4{\cos ^3}\varphi \sin \varphi - 4\cos \varphi {\sin ^3}\varphi \)
Công thức Moa-vrơ:
\(\begin{array}{l}
z = r\left({\cos \varphi + \sin \varphi } \right)\\
\Rightarrow {z^n} = {r^n}\left({\cos n\varphi + i\sin n\varphi } \right)
\end{array}\)
Lời giải chi tiết
Ta có: \(\cos 4\varphi + i\sin 4\varphi = {\left( {\cos \varphi + i\sin \varphi } \right)^4}\)
\(\eqalign{ & = {\cos ^4}\varphi + 4\left( {{{\cos }^3}\varphi } \right)\left({i\sin \varphi } \right) \cr &+ 6\left({{{\cos }^2}\varphi } \right)\left({{i^2}} \right){\sin ^2}\varphi \cr &+ 4\left({\cos \varphi } \right)\left({{i^3}{{\sin }^3}\varphi } \right) \cr &+ {i^4}{\sin ^4}\varphi \cr & = {\cos ^4}\varphi - 6{\cos ^2}\varphi {\sin ^2}\varphi + {\sin ^4}\varphi \cr &+ \left({4{{\cos }^3}\varphi \sin \varphi - 4\cos \varphi {{\sin }^3}\varphi } \right)i. \cr} \)
Từ đó: \(\cos 4\varphi = {\cos ^4}\varphi - 6{\cos ^2}\varphi {\sin ^2}\varphi + {\sin ^4}\varphi \)
\(\sin 4\varphi = 4{\cos ^3}\varphi \sin \varphi - 4\cos \varphi {\sin ^3}\varphi \)