Cho $x, y$ là các số thực dương thỏa mãn bất đẳng thức $\log...

Ta có
$
\begin{aligned}
& \log \dfrac{x+1}{3 y+1} \leq 9 y^4+6 y^3-x^2 y^2-2 y^2 x \Leftrightarrow \log \dfrac{x y+y}{3 y^2+y} \leq\left(9 y^4+6 y^3+y^2\right)-\left(x^2 y^2+2 x y \cdot y+y^2\right) \\
& \Leftrightarrow \log (x y+y)-\log \left(3 y^2+y\right) \leq\left(3 y^2+y\right)^2-(x y+y)^2 \\
& \Leftrightarrow \log (x y+y)+(x y+y)^2 \leq \log \left(3 y^2+y\right)+\left(3 y^2+y\right)^2
\end{aligned}
$
Xét hàm $f(t)=\log t+t^2$ với $t \in(0 ;+\infty)$
$f^{\prime}(t)=\dfrac{1}{t \ln 10}+2 t>0, \forall t \in(0 ;+\infty)$. Suy ra $f(t)$ là hàm đồng biến trên $t \in(0 ;+\infty)$.
$(*) \Leftrightarrow f(x y+y) \leq f\left(3 y^2+y\right) \Leftrightarrow x y+y \leq 3 y^2+y \Leftrightarrow x \leq 3 y$.
Vì $y \leq 2020$ nên ta có các trường hợp sau
$y=1 \Rightarrow x \in\{1 ; 2 ; 3\}$.
$y=2 \Rightarrow x \in\{1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6\}$.
$y=1000 \Rightarrow x \in\{1 ; 2 ; \ldots \ldots ; 3000\}$.
Vậy số cặp nghiệm thỏa mãn điều kiện đề bài là: $3+6+9+\ldots+3000=1501500$.