Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho các điểm $A,B,C$ lần lượt nằm trên các tia $Ox,Oy,Oz$. Gọi $M,N$ theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của gốc tọa độ $O$ trên các cạnh $AC$ và $BC$. Mặt cầu đi qua các điểm $O , A , B , M$ có tâm $I\left( 1 ; 2 ; 0 \right)$. Khi đó mặt cầu đi qua 5 điểm $O , A , B , C , E$ với $E\left( 4;4;4 \right)$ có phương trình là
A. ${{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}=14$.
B. ${{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z+3 \right)}^{2}}=4$.
C. ${{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z+3 \right)}^{2}}=56$.
D. ${{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}=\dfrac{7}{2}$.
A. ${{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}=14$.
B. ${{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z+3 \right)}^{2}}=4$.
C. ${{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z+3 \right)}^{2}}=56$.
D. ${{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}=\dfrac{7}{2}$.
Gọi $J$ là trung điểm của $AB$ và D là điểm đối xứng với điểm $O$ qua $J$.
Khi đó OADB là hình chữ nhật.
Do $\left\{ \begin{aligned}
& DA\bot OA \\
& DA\bot OC \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow DA\bot \left( OAC \right)\Rightarrow DA\bot OM$.
Mà $OM\bot AC$, do đó $OM\bot \left( DAC \right)\Rightarrow OM\bot DM$ hay tam giác $ODM$ vuông tại M.
Suy ra M nhìn OD dưới 1 góc vuông.
Suy ra $J$ là tâm mặt cầu đi qua 5 điểm $O,A,B,D,M,N$. Do đó $J\equiv I\left( 1;2;0 \right)$.
Mà $J$ là trung điểm của $AB$ nên ta có $\left\{ \begin{aligned}
& \dfrac{a}{2}=1 \\
& \dfrac{b}{2}=2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=2 \\
& b=4 \\
\end{aligned} \right.$.
Dựng đường thẳng $\Delta $ qua $J$ vuông góc với $(OAB)$ và dựng đường thẳng $d$ trong mặt phẳng $\left( COD \right)$ là đường trung trực của đoạn thẳng $OC$. Khi đó giao điểm của $\Delta $ và $d$ là tâm $Q$ của mặt cầu đi qua 4 điểm $O,A,B,C$.
Suy ra $Q=\left( 1;2;\dfrac{c}{2} \right)$, bán kính mặt cầu là $R=\dfrac{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}{2}=\dfrac{\sqrt{20+{{c}^{2}}}}{2}$
Mặt khác điểm $E\left( 4;4;4 \right) $ thuộc mặt cầu nên ta có:
$QM=R\Leftrightarrow \sqrt{{{1}^{2}}+{{3}^{2}}+{{\left( 5-\dfrac{c}{2} \right)}^{2}}}=\dfrac{\sqrt{20+{{c}^{2}}}}{2}\Leftrightarrow 140-20c+{{c}^{2}}=20+{{c}^{2}}\Leftrightarrow c=6$.
Do đó $Q=\left( 1;2;3 \right)$, bán kính mặt cầu là $R=\sqrt{14}$.
Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là: ${{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}=14$.
Khi đó OADB là hình chữ nhật.
Do $\left\{ \begin{aligned}
& DA\bot OA \\
& DA\bot OC \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow DA\bot \left( OAC \right)\Rightarrow DA\bot OM$.
Mà $OM\bot AC$, do đó $OM\bot \left( DAC \right)\Rightarrow OM\bot DM$ hay tam giác $ODM$ vuông tại M.
Suy ra M nhìn OD dưới 1 góc vuông.
Suy ra $J$ là tâm mặt cầu đi qua 5 điểm $O,A,B,D,M,N$. Do đó $J\equiv I\left( 1;2;0 \right)$.
Mà $J$ là trung điểm của $AB$ nên ta có $\left\{ \begin{aligned}
& \dfrac{a}{2}=1 \\
& \dfrac{b}{2}=2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=2 \\
& b=4 \\
\end{aligned} \right.$.
Dựng đường thẳng $\Delta $ qua $J$ vuông góc với $(OAB)$ và dựng đường thẳng $d$ trong mặt phẳng $\left( COD \right)$ là đường trung trực của đoạn thẳng $OC$. Khi đó giao điểm của $\Delta $ và $d$ là tâm $Q$ của mặt cầu đi qua 4 điểm $O,A,B,C$.
Suy ra $Q=\left( 1;2;\dfrac{c}{2} \right)$, bán kính mặt cầu là $R=\dfrac{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}{2}=\dfrac{\sqrt{20+{{c}^{2}}}}{2}$
Mặt khác điểm $E\left( 4;4;4 \right) $ thuộc mặt cầu nên ta có:
$QM=R\Leftrightarrow \sqrt{{{1}^{2}}+{{3}^{2}}+{{\left( 5-\dfrac{c}{2} \right)}^{2}}}=\dfrac{\sqrt{20+{{c}^{2}}}}{2}\Leftrightarrow 140-20c+{{c}^{2}}=20+{{c}^{2}}\Leftrightarrow c=6$.
Do đó $Q=\left( 1;2;3 \right)$, bán kính mặt cầu là $R=\sqrt{14}$.
Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là: ${{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}=14$.
Đáp án A.