Google
Câu hỏi: Cho cơ hệ như hình vẽ: lò xo có độ cứng $k=100 \mathrm{~N} / \mathrm{m}$, vật nặng khối lượng $m=100 \mathrm{~g}$, bề mặt chỉ có ma sát trên đoạn $C D$, biết $C D=1 \mathrm{~cm}$ và $\mu=0,5$.
Ban đầu vật nặng nằm tại vị trí lò xo không biến dạng, truyền cho vật vận tốc ban đầu $v_0=60 \pi \mathrm{cm} / \mathrm{s}$ dọc theo trục của lò xo hướng theo chiều lò xo giãn. Lấy $g=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^2$. Tốc độ trung bình của vật nặng kể từ thời điểm ban đầu đến khi nó đổi chiều chuyển động lần thứ nhất gần nhất giá trị nào sau đây?
A. $100 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}$.
B. $50 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}$.
C. $150 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}$.
D. $200 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}$.
A. $100 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}$.
B. $50 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}$.
C. $150 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}$.
D. $200 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}$.
$\omega=\sqrt{\dfrac{k}{m}}=\sqrt{\dfrac{100}{0,1}} \approx 10 \pi(\mathrm{rad} / \mathrm{s})$
GĐ1: Từ $\mathrm{O}$ đến $\mathrm{C}$
$
\begin{aligned}
& A_1=\dfrac{v_0}{\omega}=\dfrac{60 \pi}{10 \pi}=6 \mathrm{~cm} \\
& v_C=\omega \sqrt{A^2-x_{C 1}^2}=10 \pi \sqrt{6^2-3^2}=30 \pi \sqrt{3}(\mathrm{~cm} / \mathrm{s})
\end{aligned}
$
GĐ2: Từ $\mathrm{C}$ đến $\mathrm{D}$
$
\begin{aligned}
& F_{m s}=\mu m g=0,5 \cdot 0,1 \cdot 10=0,5(\mathrm{~N}) \\
& O O^{\prime}=\dfrac{F_{m s}}{k}=\dfrac{0,5}{100} m=0,5 \mathrm{~cm} \\
& x_{C 2}=3+0,5=3,5 \mathrm{~cm} \\
& A_2=\sqrt{x_{C 2}^2+\left(\dfrac{v_C}{\omega}\right)^2}=\sqrt{3,5^2+\left(\dfrac{30 \pi \sqrt{3}}{10 \pi}\right)^2}=0,5 \sqrt{157}(\mathrm{~cm}) \\
& x_{D 2}=4+0,5=4,5 \mathrm{~cm} \\
& v_D=\omega \sqrt{A_2^2-x_{D 2}^2}=10 \pi \sqrt{(0,5 \sqrt{157})^2-4,5^2}=10 \pi \sqrt{19}(\mathrm{~cm} / \mathrm{s})
\end{aligned}
$
GĐ3: Từ D đến khi đổi chiều
$
\begin{aligned}
& A_3=\sqrt{x_{D 3}^2+\left(\dfrac{v_D}{\omega}\right)^3}=\sqrt{4^2+\left(\dfrac{10 \pi \sqrt{19}}{10 \pi}\right)^2}=\sqrt{35}(\mathrm{~cm}) \\
& t=\dfrac{\arcsin \dfrac{x_{C 1}}{A_1}+\arccos \dfrac{x_{C 2}}{A_2}-\arccos \dfrac{x_{D 2}}{A_2}+\arccos \dfrac{x_{D 3}}{A_3}}{\omega} \\
& =\dfrac{\arcsin \dfrac{3}{6}+\arccos \dfrac{3,5}{0,5 \sqrt{157}}-\arccos \dfrac{4,5}{0,5 \sqrt{157}}+\arccos \dfrac{4}{\sqrt{35}}}{10 \pi} \approx 0,0497 \mathrm{~s} \\
& v_{t b}=\dfrac{A_3}{t}=\dfrac{\sqrt{35}}{0,0497} \approx 119 \mathrm{~cm} / \mathrm{s} .
\end{aligned}
$
GĐ1: Từ $\mathrm{O}$ đến $\mathrm{C}$
$
\begin{aligned}
& A_1=\dfrac{v_0}{\omega}=\dfrac{60 \pi}{10 \pi}=6 \mathrm{~cm} \\
& v_C=\omega \sqrt{A^2-x_{C 1}^2}=10 \pi \sqrt{6^2-3^2}=30 \pi \sqrt{3}(\mathrm{~cm} / \mathrm{s})
\end{aligned}
$
GĐ2: Từ $\mathrm{C}$ đến $\mathrm{D}$
$
\begin{aligned}
& F_{m s}=\mu m g=0,5 \cdot 0,1 \cdot 10=0,5(\mathrm{~N}) \\
& O O^{\prime}=\dfrac{F_{m s}}{k}=\dfrac{0,5}{100} m=0,5 \mathrm{~cm} \\
& x_{C 2}=3+0,5=3,5 \mathrm{~cm} \\
& A_2=\sqrt{x_{C 2}^2+\left(\dfrac{v_C}{\omega}\right)^2}=\sqrt{3,5^2+\left(\dfrac{30 \pi \sqrt{3}}{10 \pi}\right)^2}=0,5 \sqrt{157}(\mathrm{~cm}) \\
& x_{D 2}=4+0,5=4,5 \mathrm{~cm} \\
& v_D=\omega \sqrt{A_2^2-x_{D 2}^2}=10 \pi \sqrt{(0,5 \sqrt{157})^2-4,5^2}=10 \pi \sqrt{19}(\mathrm{~cm} / \mathrm{s})
\end{aligned}
$
GĐ3: Từ D đến khi đổi chiều
$
\begin{aligned}
& A_3=\sqrt{x_{D 3}^2+\left(\dfrac{v_D}{\omega}\right)^3}=\sqrt{4^2+\left(\dfrac{10 \pi \sqrt{19}}{10 \pi}\right)^2}=\sqrt{35}(\mathrm{~cm}) \\
& t=\dfrac{\arcsin \dfrac{x_{C 1}}{A_1}+\arccos \dfrac{x_{C 2}}{A_2}-\arccos \dfrac{x_{D 2}}{A_2}+\arccos \dfrac{x_{D 3}}{A_3}}{\omega} \\
& =\dfrac{\arcsin \dfrac{3}{6}+\arccos \dfrac{3,5}{0,5 \sqrt{157}}-\arccos \dfrac{4,5}{0,5 \sqrt{157}}+\arccos \dfrac{4}{\sqrt{35}}}{10 \pi} \approx 0,0497 \mathrm{~s} \\
& v_{t b}=\dfrac{A_3}{t}=\dfrac{\sqrt{35}}{0,0497} \approx 119 \mathrm{~cm} / \mathrm{s} .
\end{aligned}
$
Đáp án A.