Google
Câu hỏi: Cho hai khối cầu có tổng diện tích bằng $80\pi $ tiếp xúc ngoài nhau và cùng tiếp xúc với mặt
phẳng $\left( P \right)$ lần lượt tại hai điểm $A,\ B$. Tính tổng thể tích của hai khối cầu đó biết $AB=4\sqrt{2}$.
A. $24\sqrt{2}\pi $.
B. $96\sqrt{2}\pi $.
C. $96\pi $.
D. $192\pi $.
Gọi ${{R}_{1}}, {{R}_{2}}$ là bán kính $\left( {{R}_{1}}>{{R}_{2}} \right)$ ; $I, J$ là tâm của các mặt cầu (như hình vẽ).
Gọi $H$ là hình chiếu của $J$ lên $IA$.
Theo bài ra, ta có hệ:
$\left\{ \begin{aligned}
& {{\left( {{R}_{1}}+{{R}_{2}} \right)}^{2}}=I{{H}^{2}}+H{{J}^{2}} \\
& 4\pi \left( R_{1}^{2}+R_{2}^{2} \right)=80\pi \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{\left( {{R}_{1}}+{{R}_{2}} \right)}^{2}}={{\left( {{R}_{1}}-{{R}_{2}} \right)}^{2}}+A{{B}^{2}} \\
& R_{1}^{2}+R_{2}^{2}=20 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{R}_{1}}.{{R}_{2}}=8 \\
& {{R}_{1}}+{{R}_{2}}=6 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{R}_{1}}=4 \\
& {{R}_{2}}=2 \\
\end{aligned} \right.$
Vậy $V=\dfrac{4}{3}\pi \left( R_{1}^{3}+R_{2}^{3} \right)=\dfrac{4}{3}\pi .72=96\pi $.
phẳng $\left( P \right)$ lần lượt tại hai điểm $A,\ B$. Tính tổng thể tích của hai khối cầu đó biết $AB=4\sqrt{2}$.
A. $24\sqrt{2}\pi $.
B. $96\sqrt{2}\pi $.
C. $96\pi $.
D. $192\pi $.
Gọi $H$ là hình chiếu của $J$ lên $IA$.
Theo bài ra, ta có hệ:
$\left\{ \begin{aligned}
& {{\left( {{R}_{1}}+{{R}_{2}} \right)}^{2}}=I{{H}^{2}}+H{{J}^{2}} \\
& 4\pi \left( R_{1}^{2}+R_{2}^{2} \right)=80\pi \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{\left( {{R}_{1}}+{{R}_{2}} \right)}^{2}}={{\left( {{R}_{1}}-{{R}_{2}} \right)}^{2}}+A{{B}^{2}} \\
& R_{1}^{2}+R_{2}^{2}=20 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{R}_{1}}.{{R}_{2}}=8 \\
& {{R}_{1}}+{{R}_{2}}=6 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{R}_{1}}=4 \\
& {{R}_{2}}=2 \\
\end{aligned} \right.$
Vậy $V=\dfrac{4}{3}\pi \left( R_{1}^{3}+R_{2}^{3} \right)=\dfrac{4}{3}\pi .72=96\pi $.
Đáp án C.