Cho hàm số $f\left( x \right)={{x}^{4}}-18{{x}^{2}}+4$. Có bao...

Đặt $t={{x}^{2}}+4x+5$, vì $x\in \left( -4; 1 \right)\Rightarrow t\in \left( 1; 10 \right)$.
Nhận xét: với $1<t<5$ ta suy ra có 2 giá trị $x$ có tổng bằng $-4$ ( vì ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-4$ ).
Yêu cầu bài toán tương đương $f\left( t \right)=m$ có 2 nghiệm phân biệt lớn hơn 1.
Bảng biến thiên của hàm số $f\left( x \right)$ trên khoảng $\left( 1; 10 \right)$
Nhận xét: $f\left( 1 \right)=f\left( \sqrt{17} \right)$ và phương trình $f\left( t \right)=m$ có tối đa 2 nghiệm $t\in \left( 1; 10 \right)$.
TH1: Nếu $f\left( t \right)=m$ chỉ có 1 nghiệm $t\in \left( 1; 10 \right)$ thì tổng các nghiệm của phương trình ${{x}^{2}}+4x+5={{t}_{0}}$ sẽ là $-4$.
TH2: Nếu $f\left( t \right)=m$ có 2 nghiệm phân biệt ${{t}_{1}}; {{t}_{2}}\in \left( 1; 10 \right)\Rightarrow {{t}_{1}}; {{t}_{2}}\in \left( 1; \sqrt{17} \right)$
Khi đó mỗi phương trình $\left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}+4x+5={{t}_{1}} \\
& {{x}^{2}}+4x+5={{t}_{2}} \\
\end{aligned} \right. $ có 2 nghiệm phân biệt thuộc khoảng $ \left( -4; 1 \right) $. Từ đó suy ra tổng các nghiệm là $ -8$.
Vậy $m\in \left( -77; -13 \right)$ và $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \left\{ -76;...;-14 \right\}\Rightarrow $ có 63 giá trị nguyên của tham số $m$ thỏa mãn.