Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y={{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+m$ có đồ thị $\left( C \right)$ . Biết đồ thị $\left( C \right)$ cắt trục hoành tại $3$ điểm phân biệt $A,B,C$ sao cho $B$ là trung điểm của $AC$ . Phát biểu nào sau đây đúng?
A. $m\in \left( 0;+\infty \right)$.
B. $m\in \left( -\infty ;-4 \right)$.
C. $m\in \left( -4;0 \right)$.
D. $m\in \left( -4;-2 \right)$.
A. $m\in \left( 0;+\infty \right)$.
B. $m\in \left( -\infty ;-4 \right)$.
C. $m\in \left( -4;0 \right)$.
D. $m\in \left( -4;-2 \right)$.
Giả sử ${{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}}$ lần lượt là hoành độ của các điểm $A,B,C$ . Khi đó ${{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}}$ là nghiệm của phương trình ${{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+m=0$ .
$B$ là trung điểm của $AC$ khi và chỉ khi ${{x}_{2}}=\dfrac{{{x}_{1}}+{{x}_{3}}}{2}\Leftrightarrow {{x}_{1}}+{{x}_{3}}=2{{x}_{2}}$ .
Theo định lý Viet ta lại có ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{3}}=-3$, do đó ${{x}_{2}}=-1$ .
Vì ${{x}_{2}}=-1$ là nghiệm của phương trình ${{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+m=0$ nên $-1+3+m=0\Leftrightarrow m=-2$ .
Với $m=-2$, hàm số trở thành $y={{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-2$ .
Phương trình ${{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-2=0$ có 3 nghiệm phân biệt ${{x}_{2}}=-1,{{x}_{1,3}}=-1\pm \sqrt{3}$ thỏa mãn ${{x}_{1}}+{{x}_{3}}=2{{x}_{2}}$ nên $m=-2$ là giá trị cần tìm.
$B$ là trung điểm của $AC$ khi và chỉ khi ${{x}_{2}}=\dfrac{{{x}_{1}}+{{x}_{3}}}{2}\Leftrightarrow {{x}_{1}}+{{x}_{3}}=2{{x}_{2}}$ .
Theo định lý Viet ta lại có ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{3}}=-3$, do đó ${{x}_{2}}=-1$ .
Vì ${{x}_{2}}=-1$ là nghiệm của phương trình ${{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+m=0$ nên $-1+3+m=0\Leftrightarrow m=-2$ .
Với $m=-2$, hàm số trở thành $y={{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-2$ .
Phương trình ${{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-2=0$ có 3 nghiệm phân biệt ${{x}_{2}}=-1,{{x}_{1,3}}=-1\pm \sqrt{3}$ thỏa mãn ${{x}_{1}}+{{x}_{3}}=2{{x}_{2}}$ nên $m=-2$ là giá trị cần tìm.
Đáp án D.
