Google
Câu hỏi: Cho hình nón đỉnh $S$, đáy là hình tròn tâm $O$, bán kính $R=5$. Mặt phằng $(\alpha)$ qua $S$, cắt hình nón theo thiết diện là tam giác $SAB$ có diện tích bằng $12 \sqrt{2}$. Mặt phẳng $(\alpha)$ tạo với đáy hình nón góc $45^{\circ}$ ; tam giác $OAB$ nhọn. Thể tích $V$ của khối nón tạo nên từ hình nón đã cho bằng
A. $V=25\pi .$
B. $V=75\pi .$
C. $V=100\pi .$
D. $V=\dfrac{100\pi }{3}.$
Gọi $M$ là trung điểm của $AB\Rightarrow OM\bot AB.$ Do đó góc giữa $\left( \alpha \right)$ và mặt phẳng đáy là $\widehat{SMO}={{45}^{0}}\Rightarrow OM=SO.$ Hình chiếu của tam giác $SAB$ đến mặt đáy là tam giác $OAB\Rightarrow {{S}_{\Delta OAB}}={{S}_{\Delta SAB}}.\cos {{45}^{0}}=12\sqrt{2}.\dfrac{\sqrt{2}}{2}=12.$
${{S}_{\Delta OAB}}=\dfrac{1}{2}OM.AB=12\Leftrightarrow OM.\sqrt{25-O{{M}^{2}}}=12\Leftrightarrow O{{M}^{4}}-25O{{M}^{2}}+144=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& OM=4 \\
& OM=3 \\
& OM=-3 \\
& OM=-4 \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& OM=4 \\
& OM=3 \\
\end{aligned} \right.$.
Với $\left[ \begin{aligned}
& OM=4 \\
& OM=3 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& BM=3 \\
& MB=4 \\
\end{aligned} \right..$
Do tam giác $OAB$ nhọn $OM>MB\Rightarrow OM=4.$
Thể tích khối chóp là $V=\dfrac{1}{3}\pi 25.4=\dfrac{100\pi }{3}.$
A. $V=25\pi .$
B. $V=75\pi .$
C. $V=100\pi .$
D. $V=\dfrac{100\pi }{3}.$
${{S}_{\Delta OAB}}=\dfrac{1}{2}OM.AB=12\Leftrightarrow OM.\sqrt{25-O{{M}^{2}}}=12\Leftrightarrow O{{M}^{4}}-25O{{M}^{2}}+144=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& OM=4 \\
& OM=3 \\
& OM=-3 \\
& OM=-4 \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& OM=4 \\
& OM=3 \\
\end{aligned} \right.$.
Với $\left[ \begin{aligned}
& OM=4 \\
& OM=3 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& BM=3 \\
& MB=4 \\
\end{aligned} \right..$
Do tam giác $OAB$ nhọn $OM>MB\Rightarrow OM=4.$
Thể tích khối chóp là $V=\dfrac{1}{3}\pi 25.4=\dfrac{100\pi }{3}.$
Đáp án D.
