Google
Câu hỏi: Cho khối lập phương $L$ và gọi $B$ là khối bát diện đều có các đỉnh là tâm các mặt của $L$. Tỉ số thể tích của $B$ và $L$ là
A. $\dfrac{1}{3}$.
B. $\dfrac{1}{2}$.
C. $\dfrac{1}{6}$.
D. $\dfrac{1}{4}$.
Giả sử có khối lập phương $L$ và khối bát diện đều $B$ như hình vẽ.
Gọi các cạnh của khối lập phương $L$ là $a$.
Thể tích khối lập phương $L$ là: ${{V}_{L}}={{a}^{3}}$.
Thể thích của khối bát diện đều $B$ bằng 2 lần thể tích khối chóp tứ giác đều $N.LMKP$.
Ta có: $LM=\sqrt{{{\left( \dfrac{a}{2} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{a}{2} \right)}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$. Suy ra: ${{S}_{LMKP}}=L{{M}^{2}}=\dfrac{{{a}^{2}}}{2}$.
Khi đó thể tích của khối chóp $N.LMKP$ là: $V=\dfrac{1}{3}.\dfrac{a}{2}.\dfrac{{{a}^{2}}}{2}=\dfrac{{{a}^{3}}}{12}$. Suy ra: ${{V}_{B}}=\dfrac{{{a}^{3}}}{6}$.
Vậy $\dfrac{{{V}_{B}}}{{{V}_{L}}}=\dfrac{1}{6}$.
A. $\dfrac{1}{3}$.
B. $\dfrac{1}{2}$.
C. $\dfrac{1}{6}$.
D. $\dfrac{1}{4}$.
Gọi các cạnh của khối lập phương $L$ là $a$.
Thể tích khối lập phương $L$ là: ${{V}_{L}}={{a}^{3}}$.
Thể thích của khối bát diện đều $B$ bằng 2 lần thể tích khối chóp tứ giác đều $N.LMKP$.
Ta có: $LM=\sqrt{{{\left( \dfrac{a}{2} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{a}{2} \right)}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$. Suy ra: ${{S}_{LMKP}}=L{{M}^{2}}=\dfrac{{{a}^{2}}}{2}$.
Khi đó thể tích của khối chóp $N.LMKP$ là: $V=\dfrac{1}{3}.\dfrac{a}{2}.\dfrac{{{a}^{2}}}{2}=\dfrac{{{a}^{3}}}{12}$. Suy ra: ${{V}_{B}}=\dfrac{{{a}^{3}}}{6}$.
Vậy $\dfrac{{{V}_{B}}}{{{V}_{L}}}=\dfrac{1}{6}$.
Đáp án C.
