Google
Câu hỏi: Cho khối nón $\left( N \right)$ có bán kính đáy $r=4a$ và chiều cao lớn hơn bán kính đáy. Mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua đỉnh nón và tạo với đáy nón một góc $60{}^\circ $ cắt khối nón (N) theo thiết diện là một tam giác có diện tích bằng $8\sqrt{3}{{a}^{2}}$. Thể tích của khối nón (N) bằng
A. $64\pi {{a}^{3}}$.
B. $96\pi {{a}^{3}}$
C. $32\pi {{a}^{3}}$.
D. $192\pi {{a}^{3}}$
Gọi thiết diện của mặt phẳng $\left( P \right)$ và khối nón $\left( N \right)$ là $\Delta SAB$ ( hình vẽ ), đường cao $SO=h$, mặt đáy của hình $\left( N \right)$ là $\left( Q \right)$
Vẽ $OH\bot AB$ tại $H$ thì H cũng là trung điểm của $AB$
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& OH\bot AB\Rightarrow SH\bot AB \\
& SH\subset (P), OH\subset \left( Q \right) \\
& \left( P \right)\cap \left( Q \right)=AB \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left( \widehat{\left( P \right),\left( Q \right)} \right)=\widehat{SHO}=60{}^\circ $
Ta có: $OH=\dfrac{SO}{\tan {{60}^{0}}}=\dfrac{h\sqrt{3}}{3}\Rightarrow AH=\sqrt{O{{A}^{2}}-O{{H}^{2}}}=\sqrt{16{{a}^{2}}-\dfrac{{{h}^{2}}}{3}}$ và $SH=\dfrac{SO}{\sin {{60}^{0}}}=\dfrac{2h\sqrt{3}}{3}$
${{S}_{\Delta SHA}}=\dfrac{1}{2}SH.AH=\dfrac{8\sqrt{3}{{a}^{2}}}{2}=4\sqrt{3}{{a}^{2}}\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\dfrac{2h\sqrt{3}}{3}.\sqrt{16{{a}^{2}}-\dfrac{{{h}^{2}}}{3}}=4\sqrt{3}{{a}^{2}}\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& h=6a \\
& h=2\sqrt{3}a \\
\end{aligned} \right.(h>0)$
$h>r\Rightarrow h=6a\Rightarrow V=\dfrac{1}{3}\pi {{\left( 4a \right)}^{2}}.6a=32\pi {{a}^{3}}$.
A. $64\pi {{a}^{3}}$.
B. $96\pi {{a}^{3}}$
C. $32\pi {{a}^{3}}$.
D. $192\pi {{a}^{3}}$
Vẽ $OH\bot AB$ tại $H$ thì H cũng là trung điểm của $AB$
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& OH\bot AB\Rightarrow SH\bot AB \\
& SH\subset (P), OH\subset \left( Q \right) \\
& \left( P \right)\cap \left( Q \right)=AB \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left( \widehat{\left( P \right),\left( Q \right)} \right)=\widehat{SHO}=60{}^\circ $
Ta có: $OH=\dfrac{SO}{\tan {{60}^{0}}}=\dfrac{h\sqrt{3}}{3}\Rightarrow AH=\sqrt{O{{A}^{2}}-O{{H}^{2}}}=\sqrt{16{{a}^{2}}-\dfrac{{{h}^{2}}}{3}}$ và $SH=\dfrac{SO}{\sin {{60}^{0}}}=\dfrac{2h\sqrt{3}}{3}$
${{S}_{\Delta SHA}}=\dfrac{1}{2}SH.AH=\dfrac{8\sqrt{3}{{a}^{2}}}{2}=4\sqrt{3}{{a}^{2}}\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\dfrac{2h\sqrt{3}}{3}.\sqrt{16{{a}^{2}}-\dfrac{{{h}^{2}}}{3}}=4\sqrt{3}{{a}^{2}}\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& h=6a \\
& h=2\sqrt{3}a \\
\end{aligned} \right.(h>0)$
$h>r\Rightarrow h=6a\Rightarrow V=\dfrac{1}{3}\pi {{\left( 4a \right)}^{2}}.6a=32\pi {{a}^{3}}$.
Đáp án C.