Google
Câu hỏi: Cho số phức $z_1, z_2$ thỏa mãn $\left|z_1\right|=1$ và $\overline{z_2}\left(z_2-1+i\right)-6 i+2$ là một số thực. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\left|z_2\right|^2-\left(z_1 \overline{z_2}+\overline{z_1} z_2\right)$.
A. $18-9 \sqrt{2}$.
B. $3-\sqrt{2}$.
C. $18+6 \sqrt{2}$.
D. $18-6 \sqrt{2}$.
A. $18-9 \sqrt{2}$.
B. $3-\sqrt{2}$.
C. $18+6 \sqrt{2}$.
D. $18-6 \sqrt{2}$.
Đặt $z_2=x+y i,(x, y \in \mathbb{R})$, ta có
$
\begin{aligned}
& \overline{z_2}\left(z_2-1+i\right)-6 i+2=x^2+y^2-x+y+2+(x+y-6) i \\
& \text { Vì } \overline{z_2}\left(z_2-1+i\right)-6 i+2 \text { là số thực nên } x+y-6=0 .
\end{aligned}
$
Ta có
$
P=\left|z_2\right|^2+\left|z_1-z_2\right|^2-\left|z_1\right|^2-\left|z_2\right|^2=\left|z_1-z_2\right|^2-1
$
Gọi $d(I ;(d))<R$ là điểm biểu diễn số phức $z_1$, suy ra $A$ nằm trên đường tròn $(C)$ tâm $O$ bán kính $r=1$.
Gọi $B$ là điểm biểu diễn số phức $z_2$, suy ra $B$ nằm trên đường thẳng $\Delta: x+y-6=0$.
Ta có $P=A B^2-1$.
Mà $A B \geq d(O ; \Delta)-r=\dfrac{|0+0-6|}{\sqrt{2}}-1=3 \sqrt{2}-1$.
Nên $P \geq(3 \sqrt{2}-1)^2-1=18-6 \sqrt{2}$.
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $B$ là hình chiếu vuông góc của $O$ trên $\Delta$ và $A$ là giao điểm của đoạn $O B$ với đường tròn $(C)$.
$
\begin{aligned}
& \overline{z_2}\left(z_2-1+i\right)-6 i+2=x^2+y^2-x+y+2+(x+y-6) i \\
& \text { Vì } \overline{z_2}\left(z_2-1+i\right)-6 i+2 \text { là số thực nên } x+y-6=0 .
\end{aligned}
$
Ta có
$
P=\left|z_2\right|^2+\left|z_1-z_2\right|^2-\left|z_1\right|^2-\left|z_2\right|^2=\left|z_1-z_2\right|^2-1
$
Gọi $d(I ;(d))<R$ là điểm biểu diễn số phức $z_1$, suy ra $A$ nằm trên đường tròn $(C)$ tâm $O$ bán kính $r=1$.
Gọi $B$ là điểm biểu diễn số phức $z_2$, suy ra $B$ nằm trên đường thẳng $\Delta: x+y-6=0$.
Ta có $P=A B^2-1$.
Mà $A B \geq d(O ; \Delta)-r=\dfrac{|0+0-6|}{\sqrt{2}}-1=3 \sqrt{2}-1$.
Nên $P \geq(3 \sqrt{2}-1)^2-1=18-6 \sqrt{2}$.
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $B$ là hình chiếu vuông góc của $O$ trên $\Delta$ và $A$ là giao điểm của đoạn $O B$ với đường tròn $(C)$.
Đáp án D.