Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu cặp số nguyên dương $\left( x;y \right)$ thỏa mãn
${{\log }_{3}}\left( x+{{y}^{2}}+3y \right)+{{\log }_{2}}\left( x+{{y}^{2}} \right)\le {{\log }_{3}}y+{{\log }_{2}}\left( x+{{y}^{2}}+6y \right)$ ?
A. $69$.
B. $34$.
C. $35$.
D. $70$.
${{\log }_{3}}\left( x+{{y}^{2}}+3y \right)+{{\log }_{2}}\left( x+{{y}^{2}} \right)\le {{\log }_{3}}y+{{\log }_{2}}\left( x+{{y}^{2}}+6y \right)$ ?
A. $69$.
B. $34$.
C. $35$.
D. $70$.
Đầu tiên ta có bất phương trình tương đương với:
${{\log }_{3}}\left( x+{{y}^{2}}+3y \right)+{{\log }_{2}}\left( x+{{y}^{2}} \right)\le {{\log }_{3}}y+{{\log }_{2}}\left( x+{{y}^{2}}+6y \right)$
$\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left( x+{{y}^{2}}+3y \right)-{{\log }_{3}}\left( 9y \right)+2\left( {{\log }_{2}}\left( x+{{y}^{2}}+6y \right)-{{\log }_{2}}\left( 2x+2{{y}^{2}} \right) \right)\le 0$
$\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left( \dfrac{x+{{y}^{2}}+3y}{y} \right)-2{{\log }_{2}}\left( \dfrac{x+{{y}^{2}}+6y}{x+{{y}^{2}}} \right)\le 0$
$\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left( \dfrac{x+{{y}^{2}}}{y}+3 \right)-2{{\log }_{2}}\left( 1+6\dfrac{y}{x+{{y}^{2}}} \right)\le 0$ (*)
Đặt $t=\dfrac{x+{{y}^{2}}}{y}=\dfrac{x}{y}+y>0$ thì bất phương trình (*) trở thành: ${{\log }_{3}}\left( t+3 \right)-2{{\log }_{2}}\left( 1+\dfrac{6}{t} \right)\le 0$.
Xét hàm số $f\left( t \right)={{\log }_{3}}\left( t+3 \right)-2{{\log }_{2}}\left( 1+\dfrac{6}{t} \right)$ có ${f}'\left( t \right)=\dfrac{1}{\left( t+3 \right)\ln 3}+\dfrac{12}{{{t}^{2}}\left( 1+\dfrac{6}{t} \right)\ln 2}>0{{,}^{{}}}\forall t>0$ và $f\left( 6 \right)=0$.
Suy ra hàm số $f\left( t \right)$ đồng biến trên $\left( 0;+\infty \right)$ và với $f\left( t \right)\le 0$ ta suy ra $t\le 6\Leftrightarrow \dfrac{x+{{y}^{2}}}{y}\le 6$
$\Leftrightarrow -{{y}^{2}}+6y\ge x>0\Leftrightarrow 0<y<6\xrightarrow{y\in \mathbb{Z}}y\in \left\{ 1;2;3;4;5 \right\}$.
Thế $y=1\to x\le 5\to x\in \left\{ 1;2;3;4;5 \right\}$ có 5 cặp, $y=2\to x\le 8\to x\in \left\{ 1;2;..;8 \right\}$ có 8 cặp,
$y=3\to x\le 9\to x\in \left\{ 1;2;...;9 \right\}$ có 9 cặp, $y=4\to x\le 8\to x\in \left\{ 1;2;..;8 \right\}$ có 8 cặp và cuối cùng thế $y=5\to x\le 5\to x\in \left\{ 1;2;3;4;5 \right\}$ có 5 cặp.
Tổng cộng có 35 cặp thỏa mãn. Chọn đáp án C.
${{\log }_{3}}\left( x+{{y}^{2}}+3y \right)+{{\log }_{2}}\left( x+{{y}^{2}} \right)\le {{\log }_{3}}y+{{\log }_{2}}\left( x+{{y}^{2}}+6y \right)$
$\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left( x+{{y}^{2}}+3y \right)-{{\log }_{3}}\left( 9y \right)+2\left( {{\log }_{2}}\left( x+{{y}^{2}}+6y \right)-{{\log }_{2}}\left( 2x+2{{y}^{2}} \right) \right)\le 0$
$\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left( \dfrac{x+{{y}^{2}}+3y}{y} \right)-2{{\log }_{2}}\left( \dfrac{x+{{y}^{2}}+6y}{x+{{y}^{2}}} \right)\le 0$
$\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left( \dfrac{x+{{y}^{2}}}{y}+3 \right)-2{{\log }_{2}}\left( 1+6\dfrac{y}{x+{{y}^{2}}} \right)\le 0$ (*)
Đặt $t=\dfrac{x+{{y}^{2}}}{y}=\dfrac{x}{y}+y>0$ thì bất phương trình (*) trở thành: ${{\log }_{3}}\left( t+3 \right)-2{{\log }_{2}}\left( 1+\dfrac{6}{t} \right)\le 0$.
Xét hàm số $f\left( t \right)={{\log }_{3}}\left( t+3 \right)-2{{\log }_{2}}\left( 1+\dfrac{6}{t} \right)$ có ${f}'\left( t \right)=\dfrac{1}{\left( t+3 \right)\ln 3}+\dfrac{12}{{{t}^{2}}\left( 1+\dfrac{6}{t} \right)\ln 2}>0{{,}^{{}}}\forall t>0$ và $f\left( 6 \right)=0$.
Suy ra hàm số $f\left( t \right)$ đồng biến trên $\left( 0;+\infty \right)$ và với $f\left( t \right)\le 0$ ta suy ra $t\le 6\Leftrightarrow \dfrac{x+{{y}^{2}}}{y}\le 6$
$\Leftrightarrow -{{y}^{2}}+6y\ge x>0\Leftrightarrow 0<y<6\xrightarrow{y\in \mathbb{Z}}y\in \left\{ 1;2;3;4;5 \right\}$.
Thế $y=1\to x\le 5\to x\in \left\{ 1;2;3;4;5 \right\}$ có 5 cặp, $y=2\to x\le 8\to x\in \left\{ 1;2;..;8 \right\}$ có 8 cặp,
$y=3\to x\le 9\to x\in \left\{ 1;2;...;9 \right\}$ có 9 cặp, $y=4\to x\le 8\to x\in \left\{ 1;2;..;8 \right\}$ có 8 cặp và cuối cùng thế $y=5\to x\le 5\to x\in \left\{ 1;2;3;4;5 \right\}$ có 5 cặp.
Tổng cộng có 35 cặp thỏa mãn. Chọn đáp án C.
Đáp án C.