Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu giá trị thực của tham số $m$ để tích giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $f\left( x \right)={{x}^{4}}-{{m}^{2}}{{x}^{3}}-2{{x}^{2}}-m$ trên đoạn $\left[ 0;1 \right]$ bằng $-1$ ?
A. $2$.
B. $3$.
C. $0$.
D. $1$.
A. $2$.
B. $3$.
C. $0$.
D. $1$.
Ta có ${f}'\left( x \right)=4{{x}^{3}}-4x-3{{m}^{2}}{{x}^{2}}=4x\left( x-1 \right)\left( x+1 \right)-3{{m}^{2}}{{x}^{2}}\le 0$ với $\forall x\in \left[ 0;1 \right]$.
Suy ra $\underset{\left[ 0;1 \right]}{\mathop{\text{max}}} f\left( x \right)=f\left( 0 \right);\underset{\left[ 0;1 \right]}{\mathop{\text{min}}} f\left( x \right)=f\left( 1 \right)$.
Theo yêu cầu bài toán ta có
$f\left( 0 \right).f\left( 1 \right)=-1\Rightarrow -m\left( -{{m}^{2}}-m-1 \right)=-1\Leftrightarrow {{m}^{3}}+{{m}^{2}}+m+1=0$
$\Leftrightarrow \left( m+1 \right)\left( {{m}^{2}}+1 \right)=0\Leftrightarrow m=-1$.
Suy ra $\underset{\left[ 0;1 \right]}{\mathop{\text{max}}} f\left( x \right)=f\left( 0 \right);\underset{\left[ 0;1 \right]}{\mathop{\text{min}}} f\left( x \right)=f\left( 1 \right)$.
Theo yêu cầu bài toán ta có
$f\left( 0 \right).f\left( 1 \right)=-1\Rightarrow -m\left( -{{m}^{2}}-m-1 \right)=-1\Leftrightarrow {{m}^{3}}+{{m}^{2}}+m+1=0$
$\Leftrightarrow \left( m+1 \right)\left( {{m}^{2}}+1 \right)=0\Leftrightarrow m=-1$.
Đáp án D.