Có bao nhiêu số nguyên dương $x$ sao cho tồn tại số thực $y$ lớn...

$\left( x{{y}^{2}}+x-2y-5 \right)\ln y=\ln \dfrac{2y-x+7}{x}\Leftrightarrow \left( x{{y}^{2}}+x-2y-5 \right)\ln y-2\ln y=\ln \dfrac{2y-x+7}{x}-2\ln y$
$\Leftrightarrow \left[ {{x}^{2}}y-\left( 2y-x+7 \right) \right]\ln y=\ln \dfrac{2y-x+7}{x{{y}^{2}}}$
Do $y>1\Rightarrow \ln y>0$
+Nếu $x{{y}^{2}}>\left( 2y-x+7 \right)\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left[ {{x}^{2}}y-\left( 2y-x+7 \right) \right]\ln y>0 \\
& \ln \dfrac{2y-x+7}{x{{y}^{2}}}<0 \\
\end{aligned} \right.$ phương trình vô nghiệm.
+ Nếu $x{{y}^{2}}<\left( 2y-x+7 \right)\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left[ {{x}^{2}}y-\left( 2y-x+7 \right) \right]\ln y<0 \\
& \ln \dfrac{2y-x+7}{x{{y}^{2}}}>0 \\
\end{aligned} \right.$ phương trình vô nghiệm.
Phương trình có nghiệm khi $x{{y}^{2}}=2y-x+7\Rightarrow x=\dfrac{2y+7}{{{y}^{2}}+1}$
Xét hàm số $f\left( y \right)=\dfrac{2y+7}{{{y}^{2}}+1}, f'\left( y \right)=\dfrac{-{{y}^{2}}-14y+2}{{{\left( {{y}^{2}}+1 \right)}^{2}}}<0 \forall y>1$
Khi đó:
Do đó để tồn tại số thực $y>1$ thì $0<x<\dfrac{9}{2}$. Mà $x\in {{\mathbb{Z}}^{+}}\Rightarrow x\in \left\{ 1;2;3;4 \right\}$