Google
Câu hỏi: Giả sử ${{z}_{1}} ; {{z}_{2}}$ là hai trong các số phức $z$ thỏa mãn $\left| z+1+i \right|=2$ và $\left| {{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{2}} \right|=\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|$. Khi biểu thức $P=\left| {{z}_{1}}-2{{z}_{2}} \right|$ đạt giá trị nhỏ nhất thì số phức ${{z}_{1}}$ có tích phần thực và phần ảo bằng?
A. $-5$.
B. $\dfrac{4}{3}$.
C. $-\dfrac{3}{2}$.
D. $-1$.
A. $-5$.
B. $\dfrac{4}{3}$.
C. $-\dfrac{3}{2}$.
D. $-1$.
Ta có $\left| z+1+i \right|=2=\left| z-\left( -1-i \right) \right|=2\Rightarrow M\left( z \right)$ thuộc đường tròn $I\left( -1;-1 \right)$ và bán kính $R=2$.
Gọi $A\left( {{z}_{1}} \right) ; B\left( {{z}_{2}} \right)\Rightarrow \left| {{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{2}} \right|=\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|\Leftrightarrow OA+OB=AB\Leftrightarrow O$ thuộc đoạn $AB$.
Khi đó: ${{P}^{2}}={{\left| {{z}_{1}}-2{{z}_{2}} \right|}^{2}}={{\left( \overrightarrow{OA}-2\overrightarrow{OB} \right)}^{2}}={{\overrightarrow{OA}}^{2}}+4{{\overrightarrow{OB}}^{2}}-4\overrightarrow{OA.}\overrightarrow{OB}=O{{A}^{2}}+4O{{B}^{2}}+4OA.OB$.
Mặt khác: $OA.OB=\left( HA+OH \right).\left( HB-OH \right)=\left( HA+OH \right).\left( HA-OH \right)=H{{A}^{2}}-O{{H}^{2}}$
$=H{{A}^{2}}-\left( O{{I}^{2}}-I{{H}^{2}} \right)=\left( H{{A}^{2}}+I{{H}^{2}} \right)-O{{I}^{2}}=I{{A}^{2}}-O{{I}^{2}}={{R}^{2}}-O{{I}^{2}}=4-2=2$.
Do đó: ${{P}^{2}}=\left( O{{A}^{2}}+4O{{B}^{2}} \right)+8\ge 2\sqrt{O{{A}^{2}}+4O{{B}^{2}}}+8=16$.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $\left\{ \begin{aligned}
& O{{A}^{2}}=4O{{B}^{2}} \\
& OA.OB=2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& OA=2 \\
& OB=1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left| {{z}_{1}} \right|=2 \\
& \left| {{z}_{2}} \right|=1 \\
\end{aligned} \right.$.
Đặt ${{z}_{1}}=a+bi, \left( a,b\in \mathbb{R} \right)\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left| {{z}_{1}}+1+i \right|=2 \\
& \left| {{z}_{1}} \right|=2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{\left( a+1 \right)}^{2}}+{{\left( b+1 \right)}^{2}}=4 \\
& {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=4 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a+b=-1 \\
& {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=4 \\
\end{aligned} \right.$.
Suy ra $ab=\dfrac{{{\left( a+b \right)}^{2}}-\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)}{2}=\dfrac{{{\left( -1 \right)}^{2}}-4}{2}=-\dfrac{3}{2}$.
Gọi $A\left( {{z}_{1}} \right) ; B\left( {{z}_{2}} \right)\Rightarrow \left| {{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{2}} \right|=\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|\Leftrightarrow OA+OB=AB\Leftrightarrow O$ thuộc đoạn $AB$.
Mặt khác: $OA.OB=\left( HA+OH \right).\left( HB-OH \right)=\left( HA+OH \right).\left( HA-OH \right)=H{{A}^{2}}-O{{H}^{2}}$
$=H{{A}^{2}}-\left( O{{I}^{2}}-I{{H}^{2}} \right)=\left( H{{A}^{2}}+I{{H}^{2}} \right)-O{{I}^{2}}=I{{A}^{2}}-O{{I}^{2}}={{R}^{2}}-O{{I}^{2}}=4-2=2$.
Do đó: ${{P}^{2}}=\left( O{{A}^{2}}+4O{{B}^{2}} \right)+8\ge 2\sqrt{O{{A}^{2}}+4O{{B}^{2}}}+8=16$.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $\left\{ \begin{aligned}
& O{{A}^{2}}=4O{{B}^{2}} \\
& OA.OB=2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& OA=2 \\
& OB=1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left| {{z}_{1}} \right|=2 \\
& \left| {{z}_{2}} \right|=1 \\
\end{aligned} \right.$.
Đặt ${{z}_{1}}=a+bi, \left( a,b\in \mathbb{R} \right)\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left| {{z}_{1}}+1+i \right|=2 \\
& \left| {{z}_{1}} \right|=2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{\left( a+1 \right)}^{2}}+{{\left( b+1 \right)}^{2}}=4 \\
& {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=4 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a+b=-1 \\
& {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=4 \\
\end{aligned} \right.$.
Suy ra $ab=\dfrac{{{\left( a+b \right)}^{2}}-\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)}{2}=\dfrac{{{\left( -1 \right)}^{2}}-4}{2}=-\dfrac{3}{2}$.
Đáp án C.