Gọi $S$ là tập hợp các số nguyên dương $x$ sao cho tồn tại số thực...

Ta có: ${{\log }_{3}}\left( 3x \right)\ge {{27}^{-y}}\Leftrightarrow y\ge -{{\log }_{27}}\left( {{\log }_{3}}\left( 3x \right) \right)<0$ ( Do $x\ge 1$ ) nên bất phương trình sẽ có nghiệm đúng với mọi $y>0.$
Xét bất phương trình: $y{{\log }_{2}}\left( x+3y \right)\le 8-x\Leftrightarrow y{{\log }_{2}}\left( x+3y \right)+x\le 8$.
Xét $f\left( y \right)=y.{{\log }_{2}}\left( x+3y \right)+x\Rightarrow {f}'\left( y \right)={{\log }_{2}}\left( x+3y \right)+\dfrac{3y}{\left( x+3y \right)\ln 2}>0\forall y>0$
Nên $f\left( y \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( 0;+\infty \right)$
Nên $f\left( y \right)\le 8$ có nghiệm thì $x<8$. Do $x$ nguyên dương nên $x\in \left\{ 1;2;3;4;5;6;7 \right\}$.
Vậy có $7$ giá trị nguyên dương $x$ thỏa mãn.