Google
Câu hỏi: Gọi $S$ là tập hợp tất cả các số phức thỏa mãn $\left| z+1-i \right|=4$. Xét các số phức ${{z}_{1}}, {{z}_{2}}\in S$ thỏa mãn $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=6$, giá trị lớn nhất của $\left| {{z}_{1}}+2{{z}_{2}} \right|$ thuộc khoảng nào dưới đây?
A. $\left( 10; 11 \right)$.
B. $\left( 12; 13 \right)$.
C. $\left( 11; 12 \right)$.
D. $\left( 13; 14 \right)$.
Gọi $A,B$ lần lượt là điểm biểu diễn cho các số phức ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$. Suy ra $AB=\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=6$.
+ Ta có: $\left| z+1-i \right|=4$ nên các điểm $A,B$ thuộc đường tròn $\left( C \right)$ tâm $I\left( -1; 1 \right)$, bán kính $R=4$.
+ Xét điểm $M$ thuộc đoạn $AB$ thỏa $\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow \overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}=3\overrightarrow{OM}$.
+ Gọi $H$ là trung điểm $AB$. Ta tính được $H{{I}^{2}}={{R}^{2}}-H{{B}^{2}}=7;IM=\sqrt{H{{I}^{2}}+H{{M}^{2}}}=\sqrt{8}$, suy ra điểm $M$ thuộc đường tròn $\left( {{C}'} \right)$ tâm $I\left( -1;1 \right)$, bán kính $r=2\sqrt{2}$.
+ Ta có: $\left| {{z}_{1}}+2{{z}_{2}} \right|=\left| \overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB} \right|=\left| 3\overrightarrow{OM} \right|=3OM$, do đó lớn nhất khi $OM$ lớn nhất.
+ Ta có: ${{\left( OM \right)}_{\max }}=O{{M}_{0}}=\left| OI+r \right|=3\sqrt{2}$.
Vậy ${{\left| {{z}_{1}}+2{{z}_{2}} \right|}_{\max }}=3O{{M}_{0}}=9\sqrt{2}\in \left( 12; 13 \right)$.
A. $\left( 10; 11 \right)$.
B. $\left( 12; 13 \right)$.
C. $\left( 11; 12 \right)$.
D. $\left( 13; 14 \right)$.
+ Ta có: $\left| z+1-i \right|=4$ nên các điểm $A,B$ thuộc đường tròn $\left( C \right)$ tâm $I\left( -1; 1 \right)$, bán kính $R=4$.
+ Xét điểm $M$ thuộc đoạn $AB$ thỏa $\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow \overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}=3\overrightarrow{OM}$.
+ Gọi $H$ là trung điểm $AB$. Ta tính được $H{{I}^{2}}={{R}^{2}}-H{{B}^{2}}=7;IM=\sqrt{H{{I}^{2}}+H{{M}^{2}}}=\sqrt{8}$, suy ra điểm $M$ thuộc đường tròn $\left( {{C}'} \right)$ tâm $I\left( -1;1 \right)$, bán kính $r=2\sqrt{2}$.
+ Ta có: $\left| {{z}_{1}}+2{{z}_{2}} \right|=\left| \overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB} \right|=\left| 3\overrightarrow{OM} \right|=3OM$, do đó lớn nhất khi $OM$ lớn nhất.
+ Ta có: ${{\left( OM \right)}_{\max }}=O{{M}_{0}}=\left| OI+r \right|=3\sqrt{2}$.
Vậy ${{\left| {{z}_{1}}+2{{z}_{2}} \right|}_{\max }}=3O{{M}_{0}}=9\sqrt{2}\in \left( 12; 13 \right)$.
Đáp án B.