Google
Câu hỏi: Một bình đựng đầy nước có dạng hình nón (không có đáy). Người ta thả vào đó một khối cầu có đường kính bằng chiều cao của bình nước và đo được thể tích nước tràn ra ngoài là $18\pi \left( d{{m}^{3}} \right)$. Biết rằng khối cầu tiếp xúc với tất cả các đường sinh của hình nón và đúng một nửa của khối cầu đã chìm trong nước (hình dưới đây). Tính thể tích nước còn lại trong bình.
A. $24\pi \left( d{{m}^{3}} \right)$.
B. $12\pi \left( d{{m}^{3}} \right)$.
C. $6\pi \left( d{{m}^{3}} \right)$.
D. $4\pi \left( d{{m}^{3}} \right)$.
Giả sử hình nón có bán kinh đáy $R$, đường cao $h$.
Theo giả thiết ta có bán kính mặt cầu bằng $\dfrac{h}{2}$. Vì thể tích nước tràn ra ngoài là $18\pi $ $\text{d}{{\text{m}}^{3}}$ nên thể tích một nửa khối cầu bằng $18\pi $ $\text{d}{{\text{m}}^{3}}$. Suy ra $\dfrac{1}{2}.\dfrac{4}{3}\pi .{{\left( \dfrac{h}{2} \right)}^{3}}=18\pi $ $\Rightarrow OA=h=6$. Trong tam giác vuông $ODA$ ta có $\sin \widehat{OAD}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow \widehat{OAD}=30{}^\circ $.
Bán kính hình nón $R=OB=OA.\tan 30{}^\circ =2\sqrt{3}$. Thể tích hình nón: ${{V}_{1}}=\dfrac{1}{3}\pi {{R}^{2}}h=24\pi $.
Do đó thể tích nước còn lại trong bình là $24\pi -18\pi =6\pi $ $\text{d}{{\text{m}}^{3}}$.
B. $12\pi \left( d{{m}^{3}} \right)$.
C. $6\pi \left( d{{m}^{3}} \right)$.
D. $4\pi \left( d{{m}^{3}} \right)$.
Giả sử hình nón có bán kinh đáy $R$, đường cao $h$.
Theo giả thiết ta có bán kính mặt cầu bằng $\dfrac{h}{2}$. Vì thể tích nước tràn ra ngoài là $18\pi $ $\text{d}{{\text{m}}^{3}}$ nên thể tích một nửa khối cầu bằng $18\pi $ $\text{d}{{\text{m}}^{3}}$. Suy ra $\dfrac{1}{2}.\dfrac{4}{3}\pi .{{\left( \dfrac{h}{2} \right)}^{3}}=18\pi $ $\Rightarrow OA=h=6$. Trong tam giác vuông $ODA$ ta có $\sin \widehat{OAD}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow \widehat{OAD}=30{}^\circ $.
Bán kính hình nón $R=OB=OA.\tan 30{}^\circ =2\sqrt{3}$. Thể tích hình nón: ${{V}_{1}}=\dfrac{1}{3}\pi {{R}^{2}}h=24\pi $.
Do đó thể tích nước còn lại trong bình là $24\pi -18\pi =6\pi $ $\text{d}{{\text{m}}^{3}}$.
Đáp án C.