Google
Câu hỏi: Một công ty có ý định thiết kế một logo hình vuông có độ dài nửa đường chéo bằng 4. Biểu tượng
4 chiếc lá (được tô màu) được tạo thành bởi các đường cong đối xứng với nhau qua tâm của hình vuông và qua các đường chéo.
Một trong số các đường cong ở nửa bên phải của logo là một phần của đồ thị hàm số bậc ba
dạng $y=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}-x$ với hệ số $a<0$. Để kỷ niệm ngày thành lập 2/3, công ty thiết kế để tỉ số diện tích được tô màu so với phần không được tô màu bằng $\dfrac{2}{3}$. Tính $2a+2b$
A. $\dfrac{41}{80}$.
B. $\dfrac{1}{2}$.
C. $\dfrac{4}{5}$.
D. $\dfrac{9}{10}$.
4 chiếc lá (được tô màu) được tạo thành bởi các đường cong đối xứng với nhau qua tâm của hình vuông và qua các đường chéo.
dạng $y=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}-x$ với hệ số $a<0$. Để kỷ niệm ngày thành lập 2/3, công ty thiết kế để tỉ số diện tích được tô màu so với phần không được tô màu bằng $\dfrac{2}{3}$. Tính $2a+2b$
A. $\dfrac{41}{80}$.
B. $\dfrac{1}{2}$.
C. $\dfrac{4}{5}$.
D. $\dfrac{9}{10}$.
Ta có nửa đường chéo hình vuông có độ dài là 4, cạnh hình vuông sẽ là $4\sqrt{2}$ và diện tích hình vuông là $32$, khi đó ta có được diện tích phần tô màu là $\dfrac{64}{5}$.
Gọi $f\left( x \right)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}-x$ là hàm số bậc ba biểu diễn đường cong trên logo.
Ta có $x=4$ là nghiệm của phương trình nên $64a+16b-4=0\Leftrightarrow 4a+b=1\begin{matrix}
{} \\
\end{matrix}\left( 1 \right)$.
Ta có phương trình phương trình $f\left( x \right)=0$ sẽ có các nghiệm là $0$, $4$ và $a>4$ vì $4a>0$
Nên $S=\int\limits_{0}^{4}{\left| a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}-x \right|\text{d}x}=-\int\limits_{0}^{4}{\left( a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}-x \right)\text{d}x}$
$=\left. -\left( \dfrac{a{{x}^{4}}}{4}+\dfrac{b{{x}^{3}}}{3}-\dfrac{{{x}^{2}}}{2} \right) \right|_{0}^{4}=-64a-\dfrac{64}{3}b+8=\dfrac{8}{5}\Leftrightarrow -64a-\dfrac{64}{3}b=\dfrac{-32}{5}\begin{matrix}
{} \\
\end{matrix}\left( 2 \right)$.
Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{matrix}
4a+b=1 \\
-64a-\dfrac{64}{3}b=\dfrac{-32}{5} \\
\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
a=\dfrac{-1}{20} \\
b=\dfrac{9}{20} \\
\end{matrix} \right.\Rightarrow 2a+2b=\dfrac{4}{5}$.
Gọi $f\left( x \right)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}-x$ là hàm số bậc ba biểu diễn đường cong trên logo.
Ta có $x=4$ là nghiệm của phương trình nên $64a+16b-4=0\Leftrightarrow 4a+b=1\begin{matrix}
{} \\
\end{matrix}\left( 1 \right)$.
Ta có phương trình phương trình $f\left( x \right)=0$ sẽ có các nghiệm là $0$, $4$ và $a>4$ vì $4a>0$
Nên $S=\int\limits_{0}^{4}{\left| a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}-x \right|\text{d}x}=-\int\limits_{0}^{4}{\left( a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}-x \right)\text{d}x}$
$=\left. -\left( \dfrac{a{{x}^{4}}}{4}+\dfrac{b{{x}^{3}}}{3}-\dfrac{{{x}^{2}}}{2} \right) \right|_{0}^{4}=-64a-\dfrac{64}{3}b+8=\dfrac{8}{5}\Leftrightarrow -64a-\dfrac{64}{3}b=\dfrac{-32}{5}\begin{matrix}
{} \\
\end{matrix}\left( 2 \right)$.
Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{matrix}
4a+b=1 \\
-64a-\dfrac{64}{3}b=\dfrac{-32}{5} \\
\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
a=\dfrac{-1}{20} \\
b=\dfrac{9}{20} \\
\end{matrix} \right.\Rightarrow 2a+2b=\dfrac{4}{5}$.
Đáp án C.