Google
Câu hỏi: Số giá trị nguyên dương của tham số $m$ để bất phương trình ${{2}^{x+1}}{{\log }_{4}}x-m{{.2}^{x}}-{{\log }_{2}}x+m\ge 0$ nghiệm đúng với mọi $x\in \left[ 4;+ \infty \right)$ là
A. $3$.
B. $1$.
C. $2$.
D. Vô số.
A. $3$.
B. $1$.
C. $2$.
D. Vô số.
Ta có ${{2}^{x+1}}{{\log }_{4}}x-m{{.2}^{x}}-{{\log }_{2}}x+m\ge 0\Leftrightarrow {{2}^{x}}{{\log }_{2}}x-{{\log }_{2}}x-m{{.2}^{x}}+m\ge 0$
$\Leftrightarrow {{\log }_{2}}x\left( {{2}^{x}}-1 \right)-m\left( {{2}^{x}}-1 \right)\ge 0\Leftrightarrow \left( {{2}^{x}}-1 \right)\left( {{\log }_{2}}x-m \right)\ge 0$.
Vì ${{2}^{x}}-1>0, \forall x\in \left[ 4;+ \infty \right)$ nên yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow {{\log }_{2}}x-m\ge 0, \forall x\in \left[ 4;+ \infty \right)$
$\Leftrightarrow m\le {{\log }_{2}}x, \forall x\in \left[ 4;+ \infty \right)\Leftrightarrow m\le \underset{\left[ 4;+ \infty \right)}{\mathop{\min }} \left( {{\log }_{2}}x \right)\Leftrightarrow m\le 2$.
Vì $m$ nguyên dương nên có 2 giá trị của $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
$\Leftrightarrow {{\log }_{2}}x\left( {{2}^{x}}-1 \right)-m\left( {{2}^{x}}-1 \right)\ge 0\Leftrightarrow \left( {{2}^{x}}-1 \right)\left( {{\log }_{2}}x-m \right)\ge 0$.
Vì ${{2}^{x}}-1>0, \forall x\in \left[ 4;+ \infty \right)$ nên yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow {{\log }_{2}}x-m\ge 0, \forall x\in \left[ 4;+ \infty \right)$
$\Leftrightarrow m\le {{\log }_{2}}x, \forall x\in \left[ 4;+ \infty \right)\Leftrightarrow m\le \underset{\left[ 4;+ \infty \right)}{\mathop{\min }} \left( {{\log }_{2}}x \right)\Leftrightarrow m\le 2$.
Vì $m$ nguyên dương nên có 2 giá trị của $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Đáp án C.