Google
Câu hỏi: Trong không gian ${{O x y z}}$, cho bốn điểm $A\left( 1;3;-2 \right);B\left( 1;4;3 \right);C\left( -2;5;2 \right)$ và $D\left( -1;-1;8 \right)$. Điểm ${{M}}$ di động trên trục ${{O y}}$. Gọi $P=2\left| \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC} \right|+3\left| \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MD} \right|$. Giá trị nhỏ nhất của ${{P}}$ là
A. 30
B. ${{6 \sqrt{10}}}$
C. 5.
D. ${{6 \sqrt{29}}}$.
A. 30
B. ${{6 \sqrt{10}}}$
C. 5.
D. ${{6 \sqrt{29}}}$.
Gọi $I,J$ lần lượt là các điểm thoả: $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}$ và $\overrightarrow{JA}+\overrightarrow{JD}=\overrightarrow{0}$.
Ta được: $I\left( 0;4;1 \right)$ và $J\left( 0;1;3 \right)$.
Khi đó: $P=2\left| \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC} \right|+3\left| \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MD} \right|=2\left| 3\overrightarrow{MI}+\left( \overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC} \right) \right|+3\left| 2\overrightarrow{MJ}+\left( \overrightarrow{JA}+\overrightarrow{JD} \right) \right|$
$=6MI+6MJ=6\left( MI+MJ \right)$.
Lấy ${I}'$ đối xứng với $I$ qua trục $Oy$ $\Rightarrow {I}'\left( 0;4;-1 \right)$
Vì $I,J$ nằm cùng phía với trục $Oy$ nên $P$ đạt GTNN khi ${I}',M,J$ thẳng hàng.
Khi đó: ${{P}_{\min }}=6\left( {I}'M+MJ \right)=6{I}'J=6.5=30$.
Ta được: $I\left( 0;4;1 \right)$ và $J\left( 0;1;3 \right)$.
Khi đó: $P=2\left| \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC} \right|+3\left| \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MD} \right|=2\left| 3\overrightarrow{MI}+\left( \overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC} \right) \right|+3\left| 2\overrightarrow{MJ}+\left( \overrightarrow{JA}+\overrightarrow{JD} \right) \right|$
$=6MI+6MJ=6\left( MI+MJ \right)$.
Lấy ${I}'$ đối xứng với $I$ qua trục $Oy$ $\Rightarrow {I}'\left( 0;4;-1 \right)$
Vì $I,J$ nằm cùng phía với trục $Oy$ nên $P$ đạt GTNN khi ${I}',M,J$ thẳng hàng.
Khi đó: ${{P}_{\min }}=6\left( {I}'M+MJ \right)=6{I}'J=6.5=30$.
Đáp án A.
