Google
Câu hỏi: Trong không gian ${O x y z}$, cho hai đường thẳng ${{d}_{1}}:\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
x=1+t \\
y=-1-t \\
z=2 \\
\end{array} \right. $ và $ {{d}_{2}}:\dfrac{x-3}{-1}=\dfrac{y-1}{2}=\dfrac{z}{1} $. Đường vuông góc chung của $ {{d}_{1}} $, $ {{d}_{2}}$ đi qua điểm nào?
A. $Q\left( -1; 2; 1 \right)$.
B. $N\left( 1; -1; 3 \right)$.
C. $P\left( 0; -2; 3 \right)$.
D. $M\left( 2; 2; -2 \right)$.
x=1+t \\
y=-1-t \\
z=2 \\
\end{array} \right. $ và $ {{d}_{2}}:\dfrac{x-3}{-1}=\dfrac{y-1}{2}=\dfrac{z}{1} $. Đường vuông góc chung của $ {{d}_{1}} $, $ {{d}_{2}}$ đi qua điểm nào?
A. $Q\left( -1; 2; 1 \right)$.
B. $N\left( 1; -1; 3 \right)$.
C. $P\left( 0; -2; 3 \right)$.
D. $M\left( 2; 2; -2 \right)$.
Véctơ chỉ phương của ${{d}_{1}}$, ${{d}_{2}}$ lần lượt là $\overrightarrow{{{u}_{1}}}=\left( 1; -1; 0 \right)$, $\overrightarrow{{{u}_{2}}}=\left( -1; 2; 1 \right)$
Phương trình tham số ${{d}_{2}}:\left\{ \begin{aligned}
& x=3-{t}' \\
& y=1+2{t}' \\
& z={t}' \\
\end{aligned} \right.$.
Lấy $M\in {{d}_{1}}$, $N\in {{d}_{2}}$ khi đó ta có $M\left( 1+t; -1-t; 2 \right)$, $N\left( 3-{t}'; 1+2{t}'; {t}' \right)$.
Suy ra $\overrightarrow{MN}=\left( 2-{t}'-t; 2+2{t}'+t; {t}'-2 \right)$.
Đường thẳng $MN$ là đường vuông góc chung của ${{d}_{1}}$, ${{d}_{2}}$
$\left\{ \begin{aligned}
& \overrightarrow{MN}.\overrightarrow{{{u}_{1}}}=0 \\
& \overrightarrow{MN}.\overrightarrow{{{u}_{2}}}=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left( 2-{t}'-t \right)1+\left( 2+2{t}'+t \right)\left( -1 \right)+\left( {t}'-2 \right)0=0 \\
& \left( 2-{t}'-t \right)\left( -1 \right)+\left( 2+2{t}'+t \right)2+\left( {t}'-2 \right)1=0 \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 2-{t}'-t-2-2{t}'-t=0 \\
& -2+{t}'+t+4+4{t}'+2t+{t}'-2=0 \\
\end{aligned} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 2t+3{t}'=0 \\
& t+2{t}'=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow t={t}'=0$.
Khi đó tọa độ $M\left( 1; -1; 2 \right)$, $N\left( 3; 1; 0 \right)$. Suy ra $\overrightarrow{MN}=\left( 2; 2; -2 \right)$.
Vậy đường thẳng $MN$ có véctơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{MN}=\left( 1; 1; -1 \right)$ và đi qua điểm $M\left( 1; -1; 2 \right)$ có phương trình chính tắc là $MN:\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y+1}{1}=\dfrac{z-2}{-1}$.
Đường thẳng $MN:\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y+1}{1}=\dfrac{z-2}{-1}$ đi qua điểm $P\left( 0; -2; 3 \right)$.
Phương trình tham số ${{d}_{2}}:\left\{ \begin{aligned}
& x=3-{t}' \\
& y=1+2{t}' \\
& z={t}' \\
\end{aligned} \right.$.
Lấy $M\in {{d}_{1}}$, $N\in {{d}_{2}}$ khi đó ta có $M\left( 1+t; -1-t; 2 \right)$, $N\left( 3-{t}'; 1+2{t}'; {t}' \right)$.
Suy ra $\overrightarrow{MN}=\left( 2-{t}'-t; 2+2{t}'+t; {t}'-2 \right)$.
Đường thẳng $MN$ là đường vuông góc chung của ${{d}_{1}}$, ${{d}_{2}}$
$\left\{ \begin{aligned}
& \overrightarrow{MN}.\overrightarrow{{{u}_{1}}}=0 \\
& \overrightarrow{MN}.\overrightarrow{{{u}_{2}}}=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left( 2-{t}'-t \right)1+\left( 2+2{t}'+t \right)\left( -1 \right)+\left( {t}'-2 \right)0=0 \\
& \left( 2-{t}'-t \right)\left( -1 \right)+\left( 2+2{t}'+t \right)2+\left( {t}'-2 \right)1=0 \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 2-{t}'-t-2-2{t}'-t=0 \\
& -2+{t}'+t+4+4{t}'+2t+{t}'-2=0 \\
\end{aligned} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 2t+3{t}'=0 \\
& t+2{t}'=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow t={t}'=0$.
Khi đó tọa độ $M\left( 1; -1; 2 \right)$, $N\left( 3; 1; 0 \right)$. Suy ra $\overrightarrow{MN}=\left( 2; 2; -2 \right)$.
Vậy đường thẳng $MN$ có véctơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{MN}=\left( 1; 1; -1 \right)$ và đi qua điểm $M\left( 1; -1; 2 \right)$ có phương trình chính tắc là $MN:\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y+1}{1}=\dfrac{z-2}{-1}$.
Đường thẳng $MN:\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y+1}{1}=\dfrac{z-2}{-1}$ đi qua điểm $P\left( 0; -2; 3 \right)$.
Đáp án C.